My OperaVui Đời Toán Học: GS Nguyễn Xuân Vinh
Thursday, May 26, 2011 6:45:28 PM
VẼ TUYỆT MỸ CỦA HÌNH TRON - Tiểu Mục 7
Ba Ðường Gươm Của Họ Ðan
Những vệ tinh truyền tin quay quanh trái đất thường đi theo những hình tròn. Cũng như vậy, những hành tinh trong Thái dương hệ cũng đi theo những quỹ đạo gần giống như hình tròn với mặt trời là tâm điểm. Nhưng khi đo những khoảng cách một cách chính xác ta sẽ thấy rằng phải trong trường hợp thật lý tưởng ta mới có được một hình tròn thật đều đặn, còn thường ra thì có hình hơi bầu dục, còn được gọi là hình ellip. Một trại sinh đã ra để làm một biểu diễn thật giản dị. Anh cầm một đèn bấm chiếu lên một tấm bảng. Nếu chiếu thẳng góc thì có ngay một vòng sáng hình tròn. Nếu chỉ hơi lệch đi một chút thì có ngay hình ellip. Ðộ lệch càng nhiều thì hình ellip càng kéo dài ra và có thể biến dạng thành một hình cong không khép kín.
Hình 64
Những tia sáng đèn khi chiếu ra đều nằm ở trong khung của một hình nón tròn xoay. Trong toán học ta định nghĩa hình nón tròn xoay như sau: Lấy một vòng tròn và vẽ đường thẳng góc với mặt vòng tròn xuất phát từ tâm điểm. Trên đường thẳng góc này lấy một điểm D gọi là đỉnh của hình nón. Từ D vẽ những đường thẳng dựa lên vòng tròn. Những đường thẳng này được gọi là đường sinh của hình nón và tổng cộng tất cả tất cả những đường sinh sẽ tạo ra hình nón theo như Hình 65. Ðặc biệt là phát sinh ra hình nón theo kiểu này ta sẽ có hai mặt.
Ba Ðường Gươm Của Họ Ðan
Những vệ tinh truyền tin quay quanh trái đất thường đi theo những hình tròn. Cũng như vậy, những hành tinh trong Thái dương hệ cũng đi theo những quỹ đạo gần giống như hình tròn với mặt trời là tâm điểm. Nhưng khi đo những khoảng cách một cách chính xác ta sẽ thấy rằng phải trong trường hợp thật lý tưởng ta mới có được một hình tròn thật đều đặn, còn thường ra thì có hình hơi bầu dục, còn được gọi là hình ellip. Một trại sinh đã ra để làm một biểu diễn thật giản dị. Anh cầm một đèn bấm chiếu lên một tấm bảng. Nếu chiếu thẳng góc thì có ngay một vòng sáng hình tròn. Nếu chỉ hơi lệch đi một chút thì có ngay hình ellip. Ðộ lệch càng nhiều thì hình ellip càng kéo dài ra và có thể biến dạng thành một hình cong không khép kín.Hình 64
Những tia sáng đèn khi chiếu ra đều nằm ở trong khung của một hình nón tròn xoay. Trong toán học ta định nghĩa hình nón tròn xoay như sau: Lấy một vòng tròn và vẽ đường thẳng góc với mặt vòng tròn xuất phát từ tâm điểm. Trên đường thẳng góc này lấy một điểm D gọi là đỉnh của hình nón. Từ D vẽ những đường thẳng dựa lên vòng tròn. Những đường thẳng này được gọi là đường sinh của hình nón và tổng cộng tất cả tất cả những đường sinh sẽ tạo ra hình nón theo như Hình 65. Ðặc biệt là phát sinh ra hình nón theo kiểu này ta sẽ có hai mặt.
Hình 65
Vào khoảng ba thế kỷ trước công nguyên các nhà toán học Hy Lạp đã tìm thấy ra rằng nếu cắt hình nón bằng một mặt phẳng hơi lệch một chút ta sẽ có được một đường cong phẳng khép kín là một hình bầu dục. Ðường này được đặt tên là đường ellip. Nhưng sau đó nếu độ lệch hơn chút nữa, để mặt phẳng cắt song song với một đường sinh thì đường cắt sẽ không khép kín mà có hai nhánh chạy xa ra vô cực. Ðường biến hình này của hình ellip khi trở nên dài ngoẵng được đặt tên là hình Parabol. Khi mặt phẳng cắt có một độ nghiêng thật lớn, gần như song song với trục của hình nón thì ta lại thấy mặt phẳng này cắt cả hai mặt của hình nón cả mặt trên lẫn mặt dưới. Tiết diện cắt thẳng một đường cong thật khác lạ, gồm có hai ngành, và ngành nào cũng không khép kín và có nhánh chạy xa đi vô cực. Hình hai ngành này được đặt tên là hình hyperbol.
Vì hình nón được gọi là cone, nên 3 hình tiết diện vừa kể trên được gọi chung là ba hình conic. Lúc đầu tiên, những toán và triết gia Hy Lạp nghiên cứu những hình này chỉ vì muốn tò mò hiểu biết thêm tính chất của chúng tại sao lại chỉ tùy thuộc nhát cắt một hình nón tròn xoay. Gần hai ngàn năm sau, tới thế kỷ 17 nhà vật lý và thiên văn học người Ý là Galileo mới tìm ra rằng vật thể rơi trong chân không sẽ theo hình Parabol. Ta có ý niệm sơ sài của hình parabol bằng cách phun một vòi nước hay ném một hòn đá, tuy rằng, với sức cản của không khí, hình thể của những đường này không còn hẳn là hình parabol nữa. Cùng thời với Galileo (1564-1642), nhà thiên văn học Johannes Kepler (1571-1630) tìm ra ba định luật chính cho sự chuyển vận của các hành tinh. Ðịnh luật đầu tiên là:
“Các hành tinh quay chung quanh mặt trời theo những hình ellip mà mặt trời là một tiêu điểm”.
Cho tới thời kỳ Kepler thì người ta cho rằng các quỹ đạo đều là hình tròn. Nhưng nhờ ở những kết quả quan sát và đo lường thật chính xác của một nhà thiên văn học khác người Ðan Mạch là Tycho Brahe (1546-1601) mà Kepler đã chấm tọa độ và kết luận là quỹ đạo các hành tinh đều có hình bầu dục, chỉ đặc biệt lắm như Kim Tinh , mà ta thường gọi là Sao Hôm và Sao Mai mới có quỹ đạo thật gần như hình tròn.
Mới đầu thì người ta không chú ý nhiều đến hình ellip vì cho hình này chỉ là hình tròn hơi vẽ lệch mà thôi. Nhưng dần dần về sau người ta cũng dùng ellip làm mẫu cho những mặt ngọc, cho những bồn hoa hay hồ nước. Ðến khi kính thiên văn trở nên thông dụng và tân kỳ, có thể dùng để theo dõi những sao chổi, các nhà thiên văn mới thấy rằng nhiều sao chổi từ tận cùng thái dương hệ, chạy gần tới mặt trời để trổ đuôi sáng lóe rồi lại chạy đi xa thẳm, và như thế đi theo những hình ellip thật dài, có chu kỳ thật lớn. Vào năm 1704 nhà thiên văn Anh Cát Lợi là ông Edmund Halley (1656-1742) nghiên cứu sử liệu thiên văn và dự đoán rằng những sao chổi hiện ra vào những năm 1682, 1607, 1531 và 1456 chỉ là một và chạy quanh mặt trời theo những quỹ đạo hình ellip có chu kỳ là 75 năm. Ông tiên đoán là sao này sẽ trở về năm 1757. Vì trên đường về có sự nhiễu loạn hấp dẫn của Mộc Tinh mà quỹ đạo sao chổi này bị lệch và sao tới chậm một năm. Nhà thiên tài toán học Alexis Clairaut người Pháp đã tính lại và tiên đoán rằng sao chổi của Halley sẽ đến vào cuối năm 1758, theo sự sai dịch chỉ chừng hai tuần. Quả nhiên, vào Giáng Sinh năm ấy sao chổi hiện ra rực rỡ, thêm vinh danh cho Halley đã lìa trần từ nhiều năm trước và làm tăng giá trị cho Clairaut lúc đó đã có địa vị vững vàng và được một ghế trong Hàn Lâm Viện Khoa Học. Lần mới nhất đây, sao chổi Halley trở về là vào ngày mồng 9 tháng 2 năm 1986, sao tới cận điểm gần mặt trời nhất, và cũng là ngày mồng một Tết năm Bính Dần. Chỉ tiếc là lần này điều kiện quan sát sao chổi không được thuận tiện, nhìn bằng mắt thường không được.
Trở lại về ba hình conic, trong đó có hình ellip. Khi người ta viết thành phương trình, dùng tọa độ đối cực, thì cả ba hình đều có chung một phương trình, trong đó có một hằng số e gọi là tâm sai. Khi số e lớn hơn 1 thì ta có hình hyperbol. Khi e nhỏ hơn 1 thì conic là hình ellip. Còn nếu e = 1 thì đó là parabol. Ðặc biệt là nếu e bằng số không, nghĩa là e = 0, thì hình ellip trở nên thật đều, thật tuyệt mỹ, và thành hình tròn.
Tuy những nhát cắt của hình tròn có hai mặt cho ta những Hình conic như trên Hình 65, và những tính chất căn bản của những hình này đã được biết từ trước công nguyên nhưng phải đợi gần hai ngàn năm sau mới được một nhà toán học người Bỉ là Dandelin (1794-1847) đưa ra lời giải thật tuyệt vời. Họ Ðan đã dùng hai hình cầu lồng vào trong hình nón và chứng minh rằng những hình cầu này chạm mặt phẳng cắt hình nón tại những tiêu điểm F1 và F2 của hình ellip, theo như trên Hình 66.
Hình 66
Tự đó ông suy ra là nếu M là một điểm ở trên tiết diện thì tổng số MF1 + MF2 là một hằng số, nghĩa là:
MF1 + MF2 = MA + MB = AB = 2a.
Ðó là tính chất độc đáo của hình ellip. Muốn vẽ một bồn hoa có hình này, người trồng cảnh cắm hai cọc ở những điểm F1 và F2 rồi căng một sợi dây có độ dài MF1 + MF2 = 2a không thay đổi là vạch điểm M thành hình ellip.
Từ mấy ngàn năm xưa, các thi nhân đã đời đời ca ngợi hào khí của Kinh Kha mang thanh gươm hiệp sĩ sang Tần, và cũng chia sẻ nỗi hận của Thái Tử Ðan, ngóng trông bên bờ sông Dịch thấy dần dần tan vỡ mộng khôi phục nước Yên. Từ gần hai trăm năm nay các học sinh theo môn Toán lại biết tới một người khác cũng họ Ðan đã có đường gươm tuyệt diệu hớt bằng một hình nón thành ra ba hình conic. Nhưng trong tất cả những đường gươm này, dùng đủ mọi độ nghiêng, từ trên xuống dưới hay từ dưới lên trên, chỉ có một đường chính giác, thật thẳng góc với trục của hình nón là phát sinh ra hình tuyệt mỹ nhất là hình tròn mà thôi.
GS Nguyễn Xuân Vinh
