Posts tagged with "maple"
Wednesday, 3. December 2008, 14:32:04
programming, maple
Soal no 1
>
a.Nyatakan dalam bentuk assignment
b.Sederhanakan, jabarkan, dan faktorkan bentuk diatas
c.Nyatakan dalam bentuk fungsi f.
d.Tentukan nilai f(0) dan f(1)
e.Gambar fungsi tersebut untuk interval x=-4 sampai 4 dan y=-10 sampai 0,warna kurva = coklat, ketebalan kurva =3. Tunjukan juga legend dari kurva.
Soal no 2
Arsir daerah yang dibatasi oleh kurva y=x dan y=x^2 (Boleh dalam bentuk animasi)!
Contoh : .
Soal no 3
Diagram di bawah ini menggambarkan sebuah sektor lingkaran dengan sudut pusat theta = .
Misalkan A = A(theta) adalah luas daerah antara ruas garis PR dan busur PR
Misalkan B = B(theta) adalah luas daerah segitiga PQR.
a. Tentukan bentuk paling sederhana dari A(theta)/B(theta)!
b. Tentukan limit A(theta)/B(theta) saat menuju 0 dari kanan.
c. Gambarkan A(theta)/B(theta) untuk membuktikan jawaban anda di atas!
d. Dari gambar anda di atas, apa yang terjadi pada A(theta)/B(theta) saat menuju /2?
Berikut source code untuk diagram tersebut!
> with(plots):data:= ([0,0], [0.5, sqrt(3)/2]):
Warning, the name changecoords has been redefined
> data1:= ([0.5, sqrt(3)/2], [1,0]):
> data2:= ([0.5,sqrt(3)/2], [0.5,0]):
> a:= plot( sqrt(1 - x^2), x = 0..1, color = red):
> b:= plot([data], color = orange):
> c:= plot([data1], color = orange):
> d:= plot([data2], color = orange):
> e:= textplot([.07,.05,`O`],color = magenta):
> f:= textplot([.54,.05,`Q`], color = magenta):
> g:= textplot([.9,.05,`R`], color = magenta):
> h:= textplot([.4,.8,`P`], color = magenta):
> l:= textplot([.25,.15,`theta`], color = magenta):
> m:= textplot([.65,.35,`B`], color = red):
> n:= textplot([.8,.5,`A`], color = red):
> o:= plot(sqrt(.04 - x^2), x = 0.1..0.2, color = red):
> display(a,b,c,d,e,f,g,h,l,m,n,o, scaling=constrained);
Soal no 4
a. Tentukan nilai dan jelaskan (perlihatkan) proses untuk menemukan solusi anda tersebut.
b. Tentukan nilai dan jelaskan (perlihatkan) proses untuk menemukan solusi anda tersebut.
(untuk mengunduh dokumen asli, silakan klik
disini)
Wednesday, 3. December 2008, 14:30:39
programming, maple
Soal no 1
>
a.Nyatakan dalam bentuk assignment
b.Sederhanakan, jabarkan, dan faktorkan bentuk diatas
c.Nyatakan dalam bentuk fungsi f.
d.Tentukan nilai f(0) dan f(1)
e.Gambar fungsi tersebut untuk interval x=-4 sampai 4 dan y=-10 sampai 0,warna kurva = coklat, ketebalan kurva =3. Tunjukan juga legend dari kurva.
Soal no 2
Arsir daerah yang dibatasi oleh kurva y=x dan y=x^2 (Boleh dalam bentuk animasi)!
Contoh : .
Soal no 3
Diagram di bawah ini menggambarkan sebuah sektor lingkaran dengan sudut pusat theta = .
Misalkan A = A(theta) adalah luas daerah antara ruas garis PR dan busur PR
Misalkan B = B(theta) adalah luas daerah segitiga PQR.
a. Tentukan bentuk paling sederhana dari A(theta)/B(theta)!
b. Tentukan limit A(theta)/B(theta) saat menuju 0 dari kanan.
c. Gambarkan A(theta)/B(theta) untuk membuktikan jawaban anda di atas!
d. Dari gambar anda di atas, apa yang terjadi pada A(theta)/B(theta) saat menuju /2?
Berikut source code untuk diagram tersebut!
> with(plots):data:= ([0,0], [0.5, sqrt(3)/2]):
Warning, the name changecoords has been redefined
> data1:= ([0.5, sqrt(3)/2], [1,0]):
> data2:= ([0.5,sqrt(3)/2], [0.5,0]):
> a:= plot( sqrt(1 - x^2), x = 0..1, color = red):
> b:= plot([data], color = orange):
> c:= plot([data1], color = orange):
> d:= plot([data2], color = orange):
> e:= textplot([.07,.05,`O`],color = magenta):
> f:= textplot([.54,.05,`Q`], color = magenta):
> g:= textplot([.9,.05,`R`], color = magenta):
> h:= textplot([.4,.8,`P`], color = magenta):
> l:= textplot([.25,.15,`theta`], color = magenta):
> m:= textplot([.65,.35,`B`], color = red):
> n:= textplot([.8,.5,`A`], color = red):
> o:= plot(sqrt(.04 - x^2), x = 0.1..0.2, color = red):
> display(a,b,c,d,e,f,g,h,l,m,n,o, scaling=constrained);
Soal no 4
a. Tentukan nilai dan jelaskan (perlihatkan) proses untuk menemukan solusi anda tersebut.
b. Tentukan nilai dan jelaskan (perlihatkan) proses untuk menemukan solusi anda tersebut.
(untuk mengunduh dokumen asli, silakan klik)
Saturday, 15. November 2008, 03:46:29
maple, latihan
> Sum('k^2', 'k'=0..k);
No. 1
> Sum('((-1)^(k+1))*1/k', 'k'=1..12);
> sum('((-1)^(k+1))*1/k', 'k'=1..12);
No. 2
> expand(((3*x-y+5*z)^2)*((x+3*y-z)^2));
No. 3
> factor(2*x^6+3*x^5-63*x^4-55*x^3+657*x^2+216*x-2160);
No. 4
> solve(7*x^4-59*x^3+19*x^2+166*x-1008);
> fsolve(7*x^4-59*x^3+19*x^2+166*x-1008);
No. 5
> y:=x^3-x^2-100*x+310;
> plot(y, x=-15..15);
No. 7
> restart;
> with(plots):
implicitplot({y=x^3-x^2-100*x+310,y=663.5,x=-5.4},x=-6..-4,y=600..666);
> plot(x^3-x^2-100*x+310,x=5..7);
> implicitplot({y=x^3-x^2-100*x+310,x=6.11,y=-110.3},x=5..6.5,y=-90..-115);
No. 6
> fsolve(x^3-x^2-100*x+310);
Saturday, 15. November 2008, 03:45:23
maple, latihan
> restart;
> with(plots):
Warning, the name changecoords has been redefined
> with(student):
> with(linalg):
Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected
No. 1
Diketahui 2 persamaan bidang x + y - 2z = 1 dan x + 3y - z = 4.
Perpotongan antara dua bidang di atas merupakan suatu garis yang memiliki vektor arah. Perpotongan antara dua bidang berarti juga perpotongan antara vektor-vektor normalnya yang merupakan vektor arah dari garis hasil perpotongannya. Berarti jika kita meng-crossproduct-kan kedua vektor normalnya maka diperoleh
> vekn1:=[1,1,-2];
>
> vekn2:=[1,3,-1];
> vekar:=crossprod(vekn1,vekn2);
vekar merupakan vektor arah dari garis hasil perpotongan kedua bidang yang diketahui
Kemudian kita mencari
> PersBdg1:=x+y-2*z=1;
> PersBdg2:=x+3*y-z=4;
> solve({PersBdg1,PersBdg2},{x,y});
Diketahui titik (1, 0, 1) melalui bidang yang persamaannya akan dicari.
> y1:=-z1/2+3/2;
> x1:=5*z1/2-1/2;
> subs(z1=1,{x1,y1});
> vek:=[1,0,1];
> vekN:=crossprod(vekar,vek);
> A:=-1;
> B:=-3;
> C:=1;
Persamaan umum bidang yang melalui titik (x0, y0, z0) adalah A(x - x0)+B(y - y-)+C(z - z0) = 0. Jadi, persamaan bidang yang memiliki vektor normal [A, B, C] dan melalui titik (1, 0, 1) adalah
> x0:=1;
> y0:=0;
> z0:=1;
> A*(x-x0)+B*(y-y0)+C*(z-z0)=0;
>
>
>
>
>
>
No. 2
> restart;
> with(plots):
Warning, the name changecoords has been redefined
> with(linalg):
Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected
> with(plottools):
Warning, the name arrow has been redefined
> f:=x->floor(x);
> plot(f,-1..1);
> x1:=cos(t);
> y1:=sin(t);
> plot([x1,y1,t=0..2*Pi]);
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
No 3
> restart;
> with(plots):
Warning, the name changecoords has been redefined
> a:=n->tan(x)*(cos(x))^(n);
> a(n);
> A1:=seq(a(n),n=0..10);
> A2:=seq([n,a(n)],n=0..10);
> plot(A2,x=0..Pi/2);
Error, (in plot) invalid arguments
>
> S:=Sum(a(n),n=0..20);
> S_value:=value(S);
> Limit(Sum(a(n),n=0..infinity),x=Pi/6);
> limit(sum(a(n),n=0..infinity),x=Pi/6);
>
Saturday, 15. November 2008, 03:44:09
problem set, maple
Problem Set 8.3
no. 8
>
> f0:=x*(1-x)^(2/3);
> f0_int:=Int(f0,x);
> f0_int1:=value(f0_int);
> f0_int2:=simplify(f0_int1);
>
>
no.26
>
> g0:=1/sqrt(16+6*x-x^2);
> g0_int:=Int(g0,x);
> g0_int1:=value(g0_int);
> g0_int2:=simplify(g0_int1);
>
>
no.33
>
> f0:=x/(x^2+9);
> f0_int:=Int(f0,x);
> f0_int1:=int(f0,x);
>
>
> subs_t:=x=3*tan(t);
>
> f1_int1:=changevar(subs_t,f0_int,t);
>
>
>
>
> f0:=arc*tan(5*x);
> f0_int:=Int(f0,x);
> with(student):
> f0_int1:=intparts(f0_int,x);
> f0_int2:=value(f0_int1);
>
Saturday, 15. November 2008, 03:42:44
maple, latihan, pengali Langrange
> restart;
> with(plots):
Warning, the name changecoords has been redefined
> Elips:=[9*cos(theta),7*sin(theta),0]:
> f:=(x,y)->x+2*y+30;
> Dasar:=spacecurve(Elips,theta=0..2*Pi,color=red):
> Tujuan:=plot3d(f,-9..9,-7..7):
> Pilihan:=(axes=frame,orientation=[150,40],labels=[x,y,z]):
> display({Dasar,Tujuan},Pilihan);
> Proyeksi:=spacecurve([Elips[1],Elips[2],f(Elips[1],Elips[2])],theta=0..2*Pi,color=red,thickness=3):
> display({Dasar,Tujuan,Proyeksi},Pilihan);
> F:=f(Elips[1],Elips[2]);
> plot(F,theta=0..2*Pi);
> Dif_F:=diff(F,theta);
> TKritis:=solve(Dif_F=0,theta);
> NMaks:=simplify(subs(theta=TKritis,F));
> NMaksElips=simplify(subs(theta=TKritis,Elips));
> LevelCurve:=plot3d(f,-9..9,-7..7,style=contour,axes=normal,contours=20,orientation=[270,0]):
> display({LevelCurve,Dasar},axes=normal);
> Level:=solve(f(x,y)=a,y);
> [f(-9,-7),f(-9,7),f(-9,-7)];
> animate({[Elips[1],Elips[2],theta=0..2*Pi],[x,Level,x=-9..9]},a=7..53,scaling=constrained,frames=32);
> CartElips:=x^2/81+y^2/49=1;
> CartElips_1:=subs(y=y(x),CartElips);
> TurunanImp:=diff(CartElips_1,x);
> Turunan:=solve(TurunanImp,diff(y(x),x));
> Kemiringan:=subs(y(x)=y,Turunan);
> solve({CartElips,Kemiringan=-1/2},{x,y});
> Solusi:=allvalues(%);
> eks1:=subs(Solusi[1],f(x,y));
> eks2:=subs(Solusi[2],f(x,y));
> f1:=(x,y)->(x-2)^2+(y+1)^2:
> levelcurve:=plot3d(f1,-9..9,-7..7,style=contour,axes=normal,contours=20,orientation=[270,0]):
> display({levelcurve,Dasar},axes=normal);
> {Diff(f1(x,y),x)=0,Diff(f1(x,y),y)=0};
> tls0:=value(%);
> htls0:=solve(tls0,{x,y});
> subs(%,f1(x,y));
> g1:=(x,y)->x^2/81+y^2/49:
> with(linalg):
Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected
> dg1:=grad(g1(x,y),[x,y]);
> df1:=grad(f1(x,y),[x,y]);
> persamaan:={df1[1]=lambda*dg1[1],df1[2]=lambda*dg1[2],g1(x,y)=1};
> tkrit:=solve(persamaan,{x,y,lambda});
> tk:=evalf(allvalues(tkrit));
> [f1(-8.991993504,.976528417),f1(4.06563197,-6.2450585477)];
>
Saturday, 15. November 2008, 03:40:55
elips, maple
> Elips1:=(x,y,z)->(x^2/25)+(y^2/16)+(z^2/9)=1;
pertaam - tama kita definisikan dulu fungsinya. kita definisikan satu persatu dan gambar dulu satu persatu baru setelah itu digabung. kita menggbarnya dengan menggunakan perintah implicitplot3d.
> implicitplot3d((x^2/25)+(y^2/16)+(z^2/9)=1,x=-5..5,y=-4..4,z=-5..5);
Selanjutnya kita definisikan elips yang kedua dan kita gambarkan juga dengan menggunakan perintah implicitplot3d.
> Elips2:=(x,y,z)->(x^2/9)+(y^2/16)+(z^2/25)=1;
> implicitplot3d((x^2/9)+(y^2/16)+(z^2/25)=1,x=-5..5,y=-4..4,z=-5..5);
> _seed:=rand();
> randomX:=()->rand()/10.0^12;
> randomY:=()->rand()*.25/10.0^12;
> PasUr:={seq([randomX(),randomY()],k=1..1000)}:
> nDalamS:=0:
> for i from 1 to 1000 do
if PasUr [2]<=f(PasUr[1]) then nDalamS:=nDalamS+1 fi od;
Error, cannot determine if this expression is true or false: .1357769704e-1-f(.1081886648e-1) <= 0
> nDalamS;
>
Saturday, 15. November 2008, 03:39:26
maple, latihan
> restart;with(plots);
Warning, the name changecoords has been redefined
Pertama-tama kita definisikan dulu fungsi dan gambar permukaan dengan menggunakan plot 3d pada interval 0<=x<=4 dan 0<=y<=4
> h:=(x,y)->x^2+y^2+2*x*y;
> plot3d(h,0..4,0..4,axes=frame,title=`Picture 2.1`);
Selanjutnya gambar ulang tanpa grid line dan beri nama surface.
> surface:=plot3d(h,0..4,0..4,axes=frame,style=patchnogrid):
> ops:=(view=[0..4,0..4,0..50],axes=frame,tickmarks=[5,5,5],labels=[x,y,z]):
> display({surface},ops,title=`picture 2.2`);
> Langkah selanjutnya kita gambar garis y = 2 pada bidang xy di R3. Tapi kita tidak dapat menggunakan perintah implicitplot karena yang dihasilkan adalah bidang padahal seharusnya adalah garis. Jadi kita meggunakan perintah spacecurve yang argumennya berbentuk persamaan parametric, untuk y = 2 berarti x = x, y = 2, z = 0 dan kita beri nama lx. Setelah itu di-display bersama dengan surface.
> lx:=spacecurve([x,2,0],x=0..4,axes=frame,thickness=2,color=red):
> display({surface,lx},ops,title=`picture 2.3`);
> Berikutnya akan didefinisikan curve_x yang merupakan perpotongan antara surface dan garis y = 2 dan gambarnya kita beri nama cx. Kemudian kita gunakan perintah display untuk menyatukan gambar surface dan lx.
> curve_x:=[x,2,f(x,2)]:
> cx:=spacecurve(curve_x,x=0..4,axes=none,thickness=2,color=black):
> display({surface,cx,lx},ops,title=`picture 2.4`);
> Kita bisa melihat perpotongan ini di R² dengan menggunakan perintah plot.
> plot([x,h(x,2),x=0..4],view=[0..4,0..12],labels=[x,z],title=`picture 2.5`);
> Selanjutnya kita definisikan ly yaitu garis x = -1 pada bidang xy. Sehingga kita mendapatkan titik potong garis y = 2 dengan x = -1 pada permukaan f(x,y). Titik potongnya adalah (-1,2,f(-1,2)). Lalu kita definisikan cy yaitu kurva perpotongan antara bidang x = -1 dan surface.
> ly:=spacecurve([-1,y,0],y=0..4,axes=none,thickness=2,color=pink):
> curve_y:=[-1,y,f(-1,y)]:
> cy:=spacecurve(curve_y,y=0..4,axes=none,thickness=2,color=pink):
> display({surface,lx,cx,ly,cy},ops,title=`picture 2.6`);
> Karena curve_x dan curve_y berada pada surface, maka setiap garis di R3 yang menyinggung kedua kurva ini pasti menyinggung surface. Kita cari vektor singgung ke curve_x di titik (-1, 2, f(-1,2)) dengan mencari turunannya lalu kita substitusikan x = -1 ke persamaan garis singgung.. Karena kita akan melakukan operasi vektor, maka kita harus mengaktifkan paket linalg terlebih dahulu.
> with(linalg):
> diff_cur_x:=diff(curve_x,x);
> grad_x:=subs(x=-1,diff_cur_x);
> Kita buat garis singgung yaitu yang melalui (-1, 2, f(-1, 2)) kita beri nama tan_x. garis in sejajar dengan vector singgung grad_x.
> tan_x:=evalm([-1,2,h(-1,2)]+t*grad_x);
> Setelah mendapatkan garis singgungnya, selanjutnya kita gambar garis singgung tersebut dan kita beri nama ctx. Kemudian kita gunakan perintah display untuk menggabungkannya bersama dengan lx dan cx.
> ctx:=spacecurve(tan_x,t=-5..5,axes=none,thickness=2,color=blue):
> display({lx,cx,ctx},ops,title=`picture 2.7`);
> Selanjutnya kita definisikan tan_y dan cty. Caranya sama seperti yang diatas yaitu saat mencari tan_x dan ctx dengan mengganti variabel x dengan y. Sebelumnya kita cari garis singgung ke curve_y di titik (-1, 2, f(-1, 2)). Kemudian kita substitusikan y = 2.
> diff_cur_y:=diff(curve_y,y);
> grad_y:=subs(y=2,diff_cur_y);
> Lalu kita cari garis singgung tan_y yang sejajar dengan vector singgung grad_y. Setelah itu kita gambarkan garis singgung tersebut dan kita beri nama cty. Kita display lagi garis tersebut dengan ly dan cy.
> tan_y:=evalm([-1,2,f(-1,2)]+t*grad_y);
> cty:=spacecurve(tan_y,t=-5..5,axes=none,thickness=2,color=grey):
> display({cy,ly,cty},ops,title=`picture 2.8`);
> display({surface,cx,lx,ctx,cy,ly,cty},ops,title=`picture 2.9`);
> Definisikan txy yang merupakan persamaan parametrik bidang singgung dalam parameter u dan v. Kita gambarkan dengan menamainya tplane dan didisplay dengan gambar - gambar sebelumnya.
> txy:=evalm(u*grad_x+v*grad_y+[-1,2,f(-1,2)]);
> tplane:=plot3d(txy,u=-1..1,v=-1..1,axes=frame,style=wireframe,grid=[10,10],shading=none):
> display({surface,cx,lx,ctx,cy,ly,cty,tplane},ops,title=`picture 2.10`);
> Selanjutnya kita cari vektor normal bidang yaitu perkalian silang grad_x dan grad_y. Sehingga kita memperoleh persamaan bidang yaitu :
n . [x + 1, y - 2, z - f(-1, 2)] = 0
> n:=crossprod(grad_x,grad_y);
> tanEq:=dotprod(n,[X+1,Y-2,Z-f(-1,2)])=0;
>
Saturday, 15. November 2008, 03:37:09
maple, latihan
> restart;
> with(linalg):
Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected
Pertama-tama, kita akan definisikan vektor normal persamaan-persamaan dibawah ini dlm bentuk matriks dimana vektor normalnya adalah [a,b,c]
> persbdg1:=x+y-2*z=1;
> persbdg2:=x+3*y-z=4;
> vektor_1:=[1,1,-2];
> vektor_2:=[1,3,-1];
Kemudian, kita cari vektor perpotongan antara vektor_1 dengan vektor_2, sebagai berikut.
> vektor_normal:=crossprod(vektor_1,vektor_2);
Kita gunakan rumus umum persmaan bidang untuk mencari persamaan bidangnya.
> Rumus_umum_persamaan_bidang:=a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0;
Kita masukkan vektor normalnya yaittu a=5, b=-1, dan c=2 pada rumus diatas serta karena yang persamaan bidang yang dicari
melalui titik (1,0,1) sehingga kita masukkan juga titik tersebut dengan x0=1, y0=0, dan z0=1 pada rumus diatas.
> n_1:=subs(a=5,b=-1,c=2,x0=1,y0=0,z0=1,Rumus_umum_persamaan_bidang);
Kemudian kita expand hasil diatas untuk melihat hasil yang lebih detail.
> Persamaan_bidangnya:=expand((((5)*(x-1))+((-1)*(y-0))+((2)*(z-1)))=0);
>
> with(student):
> with(plots):
Warning, the name changecoords has been redefined
> S_an:=Sum(tan(x)*(cos(x))^n,n=0..infinity);
> an:=tan(x)*(cos(x))^n;
> b_an:=seq([n,an],n=1..10);
>
Saturday, 15. November 2008, 03:34:58
maple, McLaurin
>
> restart;
>
>
> f:=x->sin(x);
Pertama-tama kita definisikan dulu fungsinya. Selanjutnya kita aproksimasi fungsi tersebut dengan menggunakan deret Maclaurin untuk n suku pertama (n=1..10) dengan menggunakan for.
> for i from 1 to 10 do
mac:=taylor(f(x),x,i);
od;
Setelah dijalankan inilah deret Maclaurinnya. Selanjutnya akan digambar kesepuluh fungsi ini bersama f(x) secara bersama-sama. Namun, deret Maclaurin diatas belum dapat kita gambarkan grafiknya karena masih ada suku sisanya yaitu O(xk). Untuk menghilangkan sisa tersebut gunakan perintah convert, polynom. Untuk mempercepat prosesnya kita dapat menggunakan perintah for untuk menjalankan 10 perintah untuk merubah deret tersebut.
> for i from 1 to 10 do
poly_mac:=convert(mac,polynom);
od;
> plot_f:=plot(f(x),x=0..5,color=black):
plot_mac1:=plot(poly_mac[1],x=0..5,color=yellow):
plot_mac2:=plot(poly_mac[2],x=0..5,color=red):
plot_mac3:=plot(poly_mac[4],x=0..5,color=green):
plot_mac4:=plot(poly_mac[6],x=0..5,color=blue):
plot_mac5:=plot(poly_mac[8],x=0..5,color=magenta):
plot_mac6:=plot(poly_mac[10],x=0..5,color=pink):
display({plot_f,plot_mac1,plot_mac2,plot_mac3,plot_mac4, plot_mac5,plot_mac6});
Saturday, 15. November 2008, 03:32:26
maple, kurva
> with (student):
> p1:=[a-h,sin(a-h)];
> p2:=[a,sin(a)];
> p3:=[a+h,sin(a+h)];
> m1:=slope(p1,p2);
> m2:=slope(p2,p3);
> midp1:=midpoint(p1,p2);
> midp2:=midpoint(p2,p3);
> line1:=y=-1/m1*(x-midp1[1])+midp1[2];
> line2:=y=-1/m2*(x-midp2[1])+midp2[2];
> c:=solve({line1,line2},{x,y});
> assign(c);
x,y;
Error, (in assign) invalid arguments
> xCent:=limit(x,h=0);
> yCent:=limit(y,h=0);
> rad:=distance(p2,[xCent,yCent]);
> radi:=simplify(rad,trig);
> radiu:=factor(radi);
> radius:=unapply(radiu,a);
> xCentA:=simplify(subs(a=3*Pi/4,xCent));
> yCentA:=simplify(subs(a=3*Pi/4,yCent));
> oscCircle:=[xCentA+radius(3*Pi/4)*cos(t),yCentA+radius(3*Pi/4)*sin(t),t=0..2*Pi];
> plt1:=plot(sin,-Pi..2*Pi):
> plt2:=plot({oscCircle,[[xCentA,yCentA],[3*Pi/4,sin(3*Pi/4)]]}):
> plots[display]({plt1,plt2},scaling=constrained);
> curvature:=1/radius:
> plot({sin,curvature},0..2*Pi);
>
Saturday, 15. November 2008, 03:31:21
maple
> restart;
> g:=x->piecewise(x>=-5 and x<0,2*x-4,0<=x and x<6,-x^2+10*x-4, x>=6 and x<=10, (x-8)^2+16);
> g(x);
> a:=(g(x),x=-5..10);
> diff_g:=diff(g(x),x);
> Inaik:=solve(diff_g>0);
> diff1_g:=diff(diff_g,x);
> Icbawah:=solve(diff1_g<0);
Suatu fungksi dikatakan terdifrensiable jika fungsi tsb dapat diturunkan, dan menurut turunan pertama pada fungsi maka pada titik x=-5,0,6,10 tidak terdefinisi maka fungsi g tidak terdifirensiable pada titik-titik tersebut
> plot({g(x), diff_g}, x=-5..10, color=[red,green]);
> restart;
> f:=sin(x);
> h:=(2*Pi)/n;
> x_i:=-Pi+h*i;
> f_x_i:=subs(x=x_i,f);
> Rsum_f:=Sum(f_x_i*h, i=1..n);
> subs(n=5,Rsum_f);
> value(%);
> Value_Rsum_f:=value(Rsum_f);
>
> AREA_f:=limit(Value_Rsum_f, n=5);
> AREA_f1:=limit(Value_Rsum_f, n=20);
> simplify(AREA_f);
> simplify(AREA_f1);
> AREA_f:=limit(Value_Rsum_f, n=infinity);
> Lim_Rsum_f:=Limit(Sum(f_x_i*h, i=0..n-1),n=infinity);
> Value_Lim_Rsum_f:=value(Lim_Rsum_f);
> abs(int(f,x=-Pi..Pi));
> int(abs(f),x=-Pi..Pi);
> r:=3+2*sin(theta);
> plot([r,theta, theta=0..2*Pi], coords=polar);
>
> h:=2*Pi/n;
> theta_i:=h*i;
> theta_i := 2*Pi/n*i;
> r_theta:=subs(theta=theta_i,r);
> Rsum_f:=Sum(r_theta*h,i=1..n);
> subs(n=20,Rsum_f);
> value(%);
>
> Value_Rsum_f:=value(Rsum_f);
> AREA_Rsum_f:=limit(Value_Rsum_f, n=infinity);
> AREA_Rsum_f:=limit(Value_Rsum_f, n=20);
> AREA_Rsum_f:=limit(Value_Rsum_f, n=100);
> int((1/2)*r^2, theta=0..2*Pi);
>
>
nomor 3
> restart;
a. definisi persamaan polar
> r:=1-2*sin(theta);
b. gambar kurva
> plot([r,theta,theta=0..2*Pi],coords=polar);
> p:=(3/2)*(1-2*sin(theta));
c. aproksimasi luas daerah kurva
> h:=2*Pi/n;
> theta_i:=h*i;
> p_theta_i:=subs(theta=theta*i,p);
> Rsum_p:=Sum(p_theta_i*h,i=1..n );
d. aproksimasi luas daerah kurva untuk n yang ditentukan
> subs(n=5,Rsum_p);
> value(%);
> simplify(%);
> subs(n=15,Rsum_p);
> value(%);
> simplify(%);
> subs(n=35,Rsum_p);
> value(%);
> simplify(%);
> subs(n=55,Rsum_p);
> value(%);
> simplify(%);
> subs(n=75,Rsum_p);
> value(%);
> simplify(%);
e. aproksimasi luas daerah kurva untuk n menuju tak hingga
> Lim_Rsum_p:=Limit(Sum(p_theta_i*h, i=0..n-1),n=infinity);
> value(%);
f. Luas daerah yang sebenarnya
> Int(1/2*(r^2), theta=0..2*Pi);
> value(%);
g. bandingkan jawaban d dan e
>
h. bandingkan jawaban e dan f
Saturday, 15. November 2008, 03:28:54
maple, tugas
> restart;
> with(student);
> p1:=[a-h,sin(a-h)];
> p2:=[a,sin(a)];
> p3:=[a+h,sin(a+h)];
> m1:=slope(p1,p2);
> m2:=slope(p2,p3);
> midP1:=midpoint(p1,p2);
> midP2:=midpoint(p2,p3);
> line1:=y=(-1/m1)*(x-midP1[1])+midP1[2];
> line2:=y=(-1/m2)*(x-midP2[1])+midP2[2];
> c:=solve({line1,line2},{x,y});
> c;
> assign(f,3);
> assign(z,4);
> f;
> z;
> assign(c);
> x;
> y;
> xCent:=limit(x,h=0);
> yCent:=limit(y,h=0);
> rad:=distance(p2,[xCent,yCent]);
> radi:=simplify(rad);
> radius:=unapply(radi,a);
> xCentA:=simplify(subs(a=3*Pi/4,xCent));
> yCentA:=simplify(subs(a=3*Pi/4,yCent));
> oscCircle:=[xCentA+radius(3*Pi/4)*cos(t), yCentA +radius(3*Pi/4)*sin(t),t=0..2*Pi];
> plot(sin,-Pi..2*Pi);
> plot({oscCircle,[[xCentA,yCentA],[3*Pi/4,sin(3*Pi/4)]]});
> plt1:=plot(sin,-Pi..2*Pi):
plt2:=plot({oscCircle,[[xCentA,yCentA],[3*Pi/4,sin(3*Pi/4)]]}):
plots[display]({plt1,plt2},scaling=constrained);
> curvature:=1/radius;
> plot({sin,curvature},0..2*Pi);
>
Saturday, 15. November 2008, 03:27:00
maple, tugas
INTEGRAL TAK TENTU
> restart:
> f_int:=sqrt(9-x^2);
> g_int:=Int(f_int,x);
> with(student):
> subs_t:=x=3*sin(t);
> g_int1:=changevar(subs_t,g_int,t);
> g_int2:=simplify(g_int1);
> g_int3:=simplify(g_int1,symbolic);
> h_int:=value(g_int3);
> subs_T:=solve(subs_t,t);
> h_int1:=subs(t=subs_T,h_int);
> h_int2:=simplify(h_int1);
integral secara parsial
> p_i:=x*cos(x);
> p_int:=Int(p_i,x);
> with(student):
> p_int1:=intparts(p_int,x);
> p_int2:=value(p_int1);
> p_int11:=intparts(p_int,cos(x));
> p_int21:=value(p_int11);
> int(f_int,x);
> int(p_i,x);
Wednesday, 12. November 2008, 09:52:18
maple, tugas, programming
> restart;
a. Pendefiinisian fungsi
> g(x):=piecewise(x<-2,abs(x+2),x>=-2 and x<6,x^2+2*x,x>=6,-(x^2)+7*x);
> dif_g:=diff(g(x),x);
> plot(g(x),x=-5..10,discont=true);
> solve(dif_g<0);
Interval turun pada intreval x<-2, -2<x<-1, dan x>6
> dif_dif_g:=diff(dif_g,x);
> solve(dif_dif_g>0);
Interval cekung ke atas pada -2<x<6
> iscont(g(x),x=-5..10);
> readlib(discont):discont(g(x),x);
g tidak diferensiabel pada titik -2 dan 6 karena g tidak kontinu pada titik tersebut.
> plot({g(x),dif_g},x=-5..10,discont= true);
> restart;
2>Fungsi f(x)=cos(2x)
> f:=cos(2*x);
> with(student):leftbox(f,x=-Pi/2..Pi/2);
>
> Jumlah_RIeman:=leftsum(f,x=-Pi/2..Pi/2);
> N5:=leftsum(f,x=-Pi/2..Pi/2,5);
> evalf(N5);
> N10:=leftsum(f,x=-Pi/2..Pi/2,10);
> evalf(N10);
> N20:=leftsum(f,x=-Pi/2..Pi/2,20);
> evalf(N20);
> N40:=leftsum(f,x=-Pi/2..Pi/2,40);
> evalf(N40);
> N80:=leftsum(f,x=-Pi/2..Pi/2,80);
> evalf(N80);
> limit(f,x=infinity);
> evalf(N160);
> NTakhingga:=leftsum(f,x=-Pi/2..Pi/2,infinity);
2.b Pengaruh perubahan n adalah n merupakan banyaknya persegipanjang yang menggambarkan luas daerah dibawah kurva, sehingga semakin besar n maka luas yang digambarkan persegipanjang atas luas dibawah kurva semakin teliti atau tepat.
> a:=abs(int(f,x));
> b:=int(abs(f),x);
> plot({a,b},x=-Pi..Pi,discont =true);
Dari grafik dapat dilihat bahwa kurva dari a dan b tidak berhimpit maka persamaan a dan persamaan b itu berbeda. Maka untuk fungsi cos 2x, a tidak sama dengan b.
NO.3
> restart;
> r:=1-2*(sin(t));
> plot([r,t,t=0..2*Pi],coords=polar);
> with(student):
> aprok5:=leftsum(r,t=0..2*Pi,5);
> evalf(aprok5);
> aprok15:=leftsum(r,t=0..2*Pi,15);
> evalf(aprok15);
> aprok35:=leftsum(r,t=0..2*Pi,35);
> evalf(aprok35);
> aprok55:=leftsum(r,t=0..2*Pi,55);
> evalf(aprok55);
> aprok75:=leftsum(r,t=0..2*Pi,75);
> evalf(aprok75);
> limit(r,t=infinity);
> int_r:=int(r,t);
>
> (int_r)^2;
> IntKuadarat:=value(int_r^2);
> subs(t=0,(int_r)^2);
> value(subs(t=0,(int_r)^2));
>
>
>
Thursday, 30. October 2008, 10:23:58
maple, programming
> restart;
> with(plots):
> Elips:=[9*cos(theta),7*sin(theta),0];
> f:=(x,y)->x+2*y+30;
> Dasar:=spacecurve(Elips,theta=0..2*Pi,color=red,thickness=2):
> Tujuan:=plot3d(f,-9..9,-7..7):
> Pilihan:=(axes=frame,orientation=[150,40],labels=[x,y,z]):
> display({Dasar,Tujuan},Pilihan,title=`"Gambar 7.1"`);
> Proyeksi:=spacecurve([Elips[1],Elips[2],f(Elips[1],Elips[2])],theta=0..2*Pi,color=red,thickness=3,color=blue):
>
> display({Dasar,Tujuan,Proyeksi},Pilihan,title=`Gambar 7.2`);
> F:=f(Elips[1],Elips[2]);
> plot(F, theta=0..2*Pi, title="Gambar 7.3");
> Dif_F:=diff(F,theta);
> TKritis:=solve(Dif_F=0,theta);
> NMAks:=simplify(subs(theta=TKritis,F));
> NMaksElips:=simplify(subs(theta=TKritis,Elips));
> LevelCurve:=plot3d(f, -9..9, -7..7, style=contour, axes=normal, contours=100, orientation=[270,0]):
> display({LevelCurve,Dasar}, axes = normal, title="gambar 7.4");
> level:=solve(f(x,y)=a,y);
> [f(-9,-7),f(-9,7),f(9,-7),f(9,7)];
> animate({[Elips[1],Elips[2],theta=0..2*Pi],[x,level,x=-9..9]},a=7..53,scaling=constrained,frames=100);
> CartElips:=x^2/81+y^2/49=1;
> CarElip:=subs(y=y(x),CartElips);
> TurunanImp:=diff(CarElip,x);
> Turunan:=solve(TurunanImp,diff(y(x),x));
> kemiringan:=subs(y(x)=y, Turunan);
> solve({CartElips,kemiringan=-1/2},{x,y});
> Solusi:=allvalues(%);
Thursday, 30. October 2008, 10:02:38
maple, latihan
> restart;
1 Langkah pertama yang harus dilakukan adalah mencari perpotongan kedua bidang tersebut.
> persbid1:=x+y-2*z=1;
> persbid2:=x+3*y-z=4;
> perpotongan:=solve({persbid1,persbid2},{x,y,z});
jadi vektor normal dari garis tersebut adalah: [-5,1,-2]
ambil satu titik dari garis perpotongan tsb,misal y=0
> subs(y=0,perpotongan);
didapat salah satu titik dari garis tsb adalah:(7,0,3)
buat suatu vektor dari titik (7,0,3) ke (1,0,1) dengan cara mengurangkan. didapat vektornya adalah:(6,0,2)
> vek1:=[-5,1,-2];
> vek2:=[6,0,2];
lalu crossproduct-kan antara vek1 dgn vek2 untuk mendapatkan normal bidang.
> with(linalg):
Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected
> crossprod(vek1,vek2);
jadi normal bidang adalah:[2,-2,-6]
untuk mendapatkan pers bidangnya masukkan ke dalam rumus berikut: A(x-x1)+B(y-y1)+C(z-z1)=0
A,B,C= vektor normal, x1,y1,z1=salah satu titik yang dilaluinya.
> pers_bidang_yang_dicari:=2*(x-1)-2*(y-0)-6*(z-1)=0;
nomor 1 selesai.
3. a. deret tersebut adalah deret dengan suku pertama (selanjutnya akan disebut a): tan x dan dengan ratio(selanjutnya akan disebut r)=cos x
untuk mengetahui kekonvergenan dari suatu deret cukup melihat apakah -1<r<1 karena 0<x<Pi/2 berarti 0<cos x<1 berarti
yang mengimplikasikan 0<r<1 berarti deret tersebut konvergen.
b. karena deret tersebut divergen maka saya akan mencari S takhingga. rumus Stakhingga= (a/(1-r))
> Stakhingga:=(tan(Pi/6)/(1-cos(Pi/6)));
jawaban tanpa pecahan:
> evalf(Stakhingga);
nomor 3 selesai.
2. kita harus mencari fungsi maksimum luas yaitu 4xy dengan kendala x^2+y^2=1
> with(linalg):
> f:=(x,y)->4*x*y;
> g:=(x,y)->(x^2+y^2);
> value({Diff(f(x,y),x)=0,Diff(f(x,y),y)=0});
>
> Dg:=grad(g(x,y),[x,y]);
>
> Df2:=grad(f(x,y),[x,y]);
> Pers2:={Df2[1]=lambda*Dg[1],Df2[2]=lambda*Dg[2],g(x,y)=1};
> TKrit2:=solve(Pers2,{x,y,lambda});
> TK2:=evalf((TKrit2));
dari hasil tersebut kita bisa mendapatkan titik max dan titik minimum
berarti luas max:
> luas_max:=4*.7071067810*.7071067810;
>
WIDGETIZE