ein bißchen musiktheorie und all das andere zeug

heute hab ich mal zeit, also schreib ich noch was. das folgende kapitel ist für das verständnis der musiktheorie nicht unbedingt wichtig, aber es erklärt manche hintergründe und gibt weiterführende informationen für jene, die sich dafür interessieren. mir liegt das thema am herzen, und es ist vielleicht auf den ersten blick etwas technisch, aber sehr interessant.

die intervalle, die wir bisher kennengelernt haben, gehen auf pythagoras zurück, der sich in seiner freien zeit gern mit seinem monochord vergnügt hat (das klingt jetzt schweinischer als es ist). er hat festgestellt, daß konsonante intervalle kleine ganzzahlige frequenzverhältnisse haben, dissonante intervalle hingegen eher unharmonische. das sieht so aus:

1                       2             3         4       5     6    (7)  8
|-----------------------|-------------I---------|-------I-----I.........|
|         oktav         |    quint    I  quart  | gr. 3 Ikl. 3I  
           2:1                3:2         4:3      4:3    6:5

die obigen zahlen geben die sogenannten teiltöne der sogenannten obertonreihe an. der erste teilton ist der grundton, die anderen sind die obertöne: der zweite teilton ist der erste oberton usw. - nicht besonders kompliziert.

die abstände zeigen nicht die tatsächlichen frequenzunterschiede, sondern den musikalisch sinnvollen abstand. die mit | bezeichneten abstände sind immer eine oktav auseinander und daher konstant. die wahren frequenzverhältnisse werden durch die verhältnisse der nummern der teiltöne angegeben, wie man es auch ganz unten sieht. der zusammenhang ist logarithmisch, und wenn man zwei intervalle addiert oder subtrahiert, muß man ihre frequenzverhältnisse multiplizieren oder dividieren.

das bedeutet: das verhältnis 2:1 klingt immer nach einer oktav. klarerweise ist 4:2, 6:3 und 8:4 usw. auch immer eine oktav. wer das nicht glaubt, kann es mit dem geo-dreieck abmessen, der abstand ist immer gleich. das verhältnis 3:2 ist die quint, und wie man es sehen kann, ergeben die große und die kleine terz zusammen auch eine quint (6:4). 4:3 ist die quart, 5:4 die große und 6:5 die kleine terz. den 7. teilton lassen wir weg, wir haben jetzt mal genug material zusammen, und er paßt eh nicht ganz. aber der rest auf die oktav, also 8:6, ist ja wieder die quart 4:3. schön, sauber, logisch. hallelujah!

wir haben all unsere konsonanzen zusammen, und können den rest relativ einfach basteln. die große sekund zwischen quint und quart ist (3:2)/(4:3)=9:8, das wäre nach der oktav auch der nächste schritt zur großen none. die kleine sekund kann man als unterschied zwischen der quart und der großen terz bilden, nämlich (4:3)/(5:4)=16:15, das wäre der leitton zur nächsten oktav. die sexten und septimen kann man ebenfalls aus den bisherigen intervallen ableiten, zb. ist die große sext die summe von quint und großer sekund (3:2)*(9:8)=27:16.

als konsonant empfinden wir intervalle, die möglichst viele obertöne gemeinsam haben. es ist relativ einfach zu sehen, daß der erste und der zweite teilton sehr viele obertöne gemeinsam haben (tatsächlich ist jeder oberton des zweiten auch ein oberton des ersten), deswegen klingt die oktav so sauber. der grad der konsonanz nimmt dann langsam ab, der dritte teilton hat schon weniger gemeinsame obertöne mit dem zweiten, der vierte mit dem dritten wieder weniger, wer es hardcore mag, kann es sich ja mal durchrechnen. die abendländische musik hat sich ihre konsonanzen brav erarbeitet, zuerst nur oktav, quint und quart, die terzen sind erst später als konsonant empfunden worden. wenn man sich mal eine weile in oktaven, quinten und quarten schwelgt, klingen plötzliche terzen auch fehl am platz, weil sie eine ganz andere qualität haben. und andere verhältnisse, wie die sekunden oder auch die intervalle, in denen der 7. teilton vorkommt, sind dissonant. wie gesagt, selbst rechnen macht spaß ;-)

bis jetzt klang das ja zu schön um wahr zu sein. und tatsächlich gibt es einen haken. nein, eigentlich zwei. die bösen bösen kommata.

wenn man zum quintenzirkel zurückblättert, sieht es so aus, als könnte man von einem ton ausgehen, lauter quintensprünge nach oben machen, irgendwo enharmonisch wechseln und nach 12 quinten wieder zum ausgangston zurückzukehren. wenn man nachrechnet, wieviele oktaven das sind, kommt man auf 7. wer ein richtiges klavier oder eine kirchenorgel zuhause hat, kann es gern ausprobieren, geht sich aus (auf der blockflöte leider nicht). das problem ist nur... wenn wir das mit unseren oben erarbeiteten zahlenverhältnissen ausprobieren, haut es nicht hin.

12 quinten sind mathematisch ausgedrückt (3:2)¹², 7 oktaven hingegen (2:1)⁷. da erkennt auch der nichtmathematiker vielleicht auf den ersten blick, daß sich das nicht ausgeht, weil zweierpotenzen nie mit dreierpotenzen zusammenfallen können. und tatsächlich, wenn man die beiden brüche in verhältnis setzt, kommt das extrem unschöne ergebnis 3¹²:2¹⁹ raus. das ist zwar nicht nennenswert mehr als 1, aber doch ein bißchen (1,01364). blöde sache... das ist das pythagoräische komma, und hat die musikgeschichte immerhin ein paar hundert jahre lang geprägt, denn das heißt, mit reinen quinten schließt sich der quintenzirkel gar nicht...

das zweite problem: wenn man auf die große sekund (9:8) noch eine drauflegt, trifft man die große terz leider nicht... (9:8)²=81:64, im gegensatz zu den 5:4 oder erweitert 80:64. dieses zweite komma, das verhältnis 81:80, ist das syntonische (es hat laut wikipedia auch einen anderen namen, den ich bisher noch nie gehört habe, also lasse ich ihn weg), und bedeutet, daß wir mit den reinen quinten eh schon tief in die kacke gegriffen haben, weil schon die terz nicht rein ist... von der diäsis schweigen wir mal lieber, da gibt es sogar zwei, aber die sind nicht so präpotent, ähm prominent in der geschichte, die ich gleich erzählen werde...

im mittelalter, als die mönche im kloster einstimmig in ihre gesänge einstimmten, konnte man die reine tonleiter verwenden, die sich aus den obigen überlegungen ergibt. reine quint, reine quart, reine große terz... ein traum! man nahm selbst in kauf, daß es eigentlich zwei verschiedene große sekunden gab, 9:8 zwischen grundton und II. stufe sowie 10:9 zwischen ebendieser und der terz, wenig überraschend ein syntonisches komma kleiner als die andere. das war insofern kein problem, weil man den grundton noch im ohr hatte, sodaß die reine große terz im höreindruck stärker war als der winzige unterschied bei der sekund. das ist die stimmung, die man am sauberten empfindet, aber leider funktioniert sie nur einstimmig.

nun haben die mönche dann irgendwann begonnen, mehrstimmig zu singen, und wie bereits erwähnt, galten zunächst nur oktav, quint und quart als konsonanzen. das heißt, für die stimmung war es wichtig, eher quintlastig zu sein, damit die zusammenklänge alle sauber sind (die quart als komplementärintervall ist ja dann genauso rein). das heißt, man hatte die quint rein, die große sekund natürlich auch, und die große terz mußte darunter leiden und um das syntonische komma zu groß werden (die heißt dann pythagoräische terz). das ist die pythagoräische stimmung.

das wäre noch nicht so schlimm gewesen, die terz war ja sowieso dissonant, also durfte sie auch etwas unsauber klingen. das größere problem war, daß man beim bau von fix gestimmten instrumenten, zb. orgeln, das oben erwähnte pythagoräische komma irgendwo unterbringen mußte. wenn man nur reine quinten verwendet, schließt sich ja der quintenzirkel nicht. wenn man über dem h mit reinen quinten f#, c# und g# bildet, und unter dem f mit ebenfalls reinen quinten b, eb und ab, dann kommt man mit g# und ab nicht zusammen - man muß sich für einen der beiden töne entscheiden. meist nimmt man dann das g#, und nimmt in kauf, daß eb und g# in den seltenen fällen, in denen sie zusammenkommen (wobei g# dann natürlich ein enharmonisch verwechseltes ab ist), scheiße klingen. man nennt das eine pythagoräische wolfsquint.

als man begann, die terz als konsonant zu empfinden, mußte man auch an der stimmung wieder was schrauben. über gewisse zwischenschritte kam man zu der sogenannten mitteltönigen stimmung. bei dieser werden 11 der 12 quinten um jeweils 1/4 des syntonischen kommas verkleinert, damit die große terz, die durch vier quinten bestimmt wird, ganz rein ist. die quinten sind so wenig unrein, daß das nicht auffällt, nur die zwölfte quint ist viel zu groß und heißt auch wieder wolfsquint. außerdem sind dadurch auch ein paar terzen unrein, das sind aber die, die eher selten verwendet werden. die anderen sind dafür picobello sauber, da stören nicht mal die ein wenig unreinen quinten. um die wolfsquint zu entschärfen kann man die anderen quinten um weniger als 1/4 des syntonischen kommas verkleinern, aber dann werden die terzen auch nicht mehr so supersauber. alles in allem eine feine sache, wenn man nicht alle töne und intervalle braucht. sonst... doof. außer man setzt die häßlichen intervalle bewußt als künstlerisches ausdrucksmittel ein. schirch sind sie trotzdem, aber dann sind sie entschuldigt.

im barock begann man dann den gesamten oktavraum ausfüllen zu wollen, und dazu brauchte man eine stimmung, die das erlaubt. es gab ungefähr eine million alternativen, die eines gemeinsam hatten: sie verteilten das pythagöräische komma auf die 12 quinten des quintenzirkels unterschiedlich, sodaß manche tonarten ganz rein, manche eher unrein waren. das sind die sogenannten wohltemperierten stimmungen, und entgegen der landläufigen meinung nicht mit der heutigen gleichschwebend temperierten zu verwechseln! wohltemperiert, weil alle tonarten innerhalb gewisser toleranzgrenzen spielbar waren, nicht so wie in den stimmungen davor. und durch die unterschiedliche sauberkeit der verschiedenen tonarten ergibt sich die sog. tonartencharakteristik, die sehr stark auf die barockmusik zurückwirkt (zb. klingen alle stücke von bach, die in d-moll komponiert sind, ganz eigen, und ganz anders als zb. die in e-moll).

die wohltemperierten stimmungen heißen werckmeister, kirnberger, valotti-young und wie auch immer nach ihren erfindern, und haben zum teil auch nummern. werckmeister war zb. für seine stimmungsschwankungen bekannt (ha ha), und man nimmt heute an, daß bach das wohltemperirte clavier für eine seiner stimmungen komponiert hat oder zumindest den titel auf eine seiner schriften bezieht. in der praxis schaut das so aus, daß man das pythagoräische komma zb. auf vier, fünf oder sechs quinten aufteilt, die dadurch noch immer nicht schlechter sind als die mitteltönigen, die restlichen quinten bleiben aber rein. die terzen sind wieder nicht ganz rein, aber zumindest brauchbar... wer will, kann ja ein bißchen herumrechnen.

rechnerisch war auch schon die der im barock erwünschten tonartencharakteristik keine rechnung tragende gleichschwebend temperierte stimmung lange bekannt. irgendwann hat sie sich auch durchgesetzt... damit war der unterschiedliche klang der tonarten vom tisch. bei der gleichschwebend temperierten stimmung werden alle quinten um ein zwölftel pyth. komma verkleinert. dadurch ist außer der oktav kein intervall rein, aber alle spielbar, und die enharmonische verwechslung haut auch brauchbar hin. transponieren kann man auch alles. super... naja, man kann davon halten, was man will, sie ist nun mal die, die man heute braucht.

das ganze gilt natürlich nur für instrumente mit fixer stimmung. auf einer geige kann man jederzeit ein wenig danebengreifen, mit der stimme kann man auch flexibel umgehen, viele bläser können den ton auch geringfügig ändern, und lauten und gamben haben verschiebbare bünde, um sich bei bedarf der gerade aktuellen tonart exakter anpassen zu können. aber klaviere, orgeln und diverses anderes zeug sowie natürlich elektronische instrumente sind eben gleichschwebend gestimmt.

man hört bei irgendeiner wunderschönen musik (und auch bei anderen von menschenhand geschaffenen meisterwerken) hin und wieder das wort "gottesbeweis". nun, ohne jemandem zu nahe treten zu wollen, finde ich, daß die ganze problematik mit den stimmungen eher einen gegenbeweis darstellt. einem allmächtigen schöpfer hätte ich durchaus ein in sich stimmiges und perfektes system zugetraut... es sei denn, jemand wollte uns verarschen. so haben wir die quahl der wahl, zu jeder musik die passende nicht ganz perfekte alternative zu wählen. musik ist trotzdem schön, und das halte ich für eine wirklich gute errungenschaft der menschheit. hut ab!