Tôi thấy còn một mảng mà DĐ hơi bị thiếu đó là giới thiệu những phương pháp giải toán cơ bản. Mong các bạn đóng góp nhiều hơn về lĩnh vực này. Để bắt đầu tôi xin giới thiệu một phương pháp căn bản.

1) Ý tưởng: Giả sử ta cần chứng minh rằng một mệnh đề nào đó đúng cho tất cả các ma trận, ta chứng minh nó trước hết cho những ma trận đặc biệt như là ma trận khả nghịch hay chéo hóa được...Sau đó đối với một ma trận A tổng quát ta chọn một dãy A_n các ma trận đặc biệt hội tụ tới A, sau đó lấy giới hạn kết quả khi n\rightarrow\ìnty.

Cơ sở của phương pháp:

_Mọi ma trận vuông nxn đều có thể xấp xỉ bằng những ma trận khả nghịch.

_Mọi ma trận vuông nxn đều có thể xấp xỉ bằng những ma tận chéo hóa được phức. Điều này là vì khi ta nhiễu ma trận đi một chút, đa thức đặc trưng của nó sẽ có các nghiệm phức đơn, do đó chéo hóa được trong trường phức.

2) Ví dụ minh họa:

VD1: Cho A, B là hai ma trận nxn. Chứng minh AB và BA có cùng trị riêng.

Chứng minh: Ta chỉ cần chứng minh rằng AB và BA có cùng đa thức đặc trưng.

Trước hết xét trường hợp B khả nghịch. Ta có BA=B(AB)B^{-1} do đó AB và BA cùng đa thức đặc trưng.

Xét trường hợp tổng quát. Ta chọn một dãy các ma trận khả nghịch B_n hội tụ về B. Theo kết quả vừa chứng minh ta có B_nA và AB_n có cùng đa thức đặc trưng với mọi n=1,2,... Cho n\rightarrow\ìnty ta được điều phải chứng minh.

VD2: Cho A là ma trận nxn, g là đa thức đặc trưng của A. Chứng minh rằng g(A)=0.

Hướng dẫn chứng minh: Trước hết xét trường hợp A chéo hóa được. Sau đó dùng phương pháp xấp xỉ như trên.

VD3: Cho A là ma trận nxn. Chứng minh det(e^{A})=e^{trace (A)}.

Hướng dẫn: Xét trường hợp A chéo hóa được trước tiên.