My OperaNhà toán học Stefan Banch
Friday, May 16, 2008 5:51:07 AM
Stefan Banach (30 tháng 3, 1892 ở Kraków, Đế chế Áo-Hung bây giờ là Ba Lan– 31 tháng 8, 1945 ở Lwów, vùng Ba Lan bị Liên Xô chiếm đóng), là một nhà toán học nổi tiếng người Ba Lan, một trong những người dẫn đầu Trường phái toán học Lwów ở Ba Lan trước chiến tranh. Ông tự học toán; tài năng toán của ông được khám phá một cách tình cờ bởi Juliusz Mien và sau này là Hugo Steinhaus.
Khi Thế chiến thứ hai bắt đầu, Banach là Chủ tịch Hội toán học Ba Lan và là giáo sư tại Đại học Lwów. Là một thành viên của Viện Hàn lâm khoa học Cộng hòa Xô viết Ukraina, và có quan hệ tốt với các nhà toán học Liên Xô, ông được phép giữ vị trí đó mặc cho sự chiếm đóng thành phố của Hồng quân Xô viết từ năm 1939. Banach sống sót các trận chiếm đóng tàn bạo sau đó của quân Đức từ tháng 7 năm 1941 đến tháng 2 năm 1944, sống sót bằng cách hiến máu cho Viện nghiên cứu Typhus của giáo sư Rudolf Weigl. Sức khỏe của ông suy giảm trong thời bị chiếm đóng, và ông bị nhiễm ung thư phổi. Sau chiến tranh Lwów được sát nhập vào Liên Xô, và Banach qua đời trước khi có thể được đưa về an nghỉ ở Kraków, Ba Lan. Ông được chôn cất tại Nghĩa trang Lyczakowski.
CÁC TÁC PHẨM:
Teoria operacji liniowych (Lý thuyết về các toán tử tuyến tính), 1932, được xem như là công trình có ảnh hưởng lớn nhất của Banach. Trong đó ông hình thức hóa khái niệm bây giờ được biết đến như là không gian Banach, và chứng minh nhiều định lý cơ sở của giải tích hàm. Ông cũng là người khởi xướng và biên tập tạp chí Studia Mathematica.
Ngoài việc là một trong những người sáng lập ra giải tích hàm, Banach cũng có các đóng góp quan trọng vào lý thuyết độ đo, lý thuyết tập hợp, và các ngành khác của toán.
CÁC ĐỊNH LÝ CỦA BANACH:
1.Định lý không gian Banach:
Trong toán học, không gian Banach, đặt theo tên Stefan Banach người nghiên cứu các không gian đó, là một trong những đối tượng trung tâm của nghiên cứu về giải tích hàm. Nhiều không gian hàm vô hạn chiều nghiên cứu trong lãnh vực giải tích hàm là các ví dụ về các không gian Banach.
a.Định nghĩa:
Các không gian Banach được định nghĩa như là các không gian vectơ định chuẩn đầy đủ. Điều này nghĩa là một không gian Banach là một không gian vectơ V trên trường số thực hay số phức với một chuẩn ||·|| sao cho mọi dãy Cauchy (tương ứng với metric d(x, y) = ||x − y|| trong V có một giới hạn trong V. Bởi vì chuẩn sinh ra một topology trên không gian vectơ, một không gian Banach đưa ra một ví dụ về một không gian vectơ có tính topo.
b.Ví dụ:
Sau đây, K kí hiệu cho trường R hoặc C.
Không gian Euclid quen thuộc Kn, với chuẩn Euclid của x = (x1, ..., xn) được cho bởi ||x|| = (∑ |xi|2)1/2, là các không gian Banach.
Không gian của tất cả các hàm số liên tục f : [a, b]→ K định nghĩa trên một đoạn đóng [a, b] trở thành một không gian Banach nếu ta định nghĩa chuẩn của hàm số như là ||f|| = sup { |f(x)| : x trong [a, b] }. Đây thực sự là một chuẩn bởi vì các hàm liên tục định nghĩa trên đoạn đóng thì bị chặn. Không gian này là đầy đủ dưới chuẩn này. Theo định nghĩa, nó là một không gian Banach, được kí hiệu là C[a, b].
Không gian C(X) của tất cả các hàm số liên tục X → K, với X là một không gian compact. Với X là một không gian topo bất kì, ký hiệu
B(X) là không gian của tất cả các hàm liên tục bị chặn với chuẩn . Có thể thay không gian tôpô X trong ví dụ này bằng một tập tùy ý. Khi đó B(X) đuwocj xét là tập các hàm số bị chặn trên tập X với chuẩn được định nghĩa tương tự. Trong tất cả những ví dụ này, ta có thể nhân các hàm số với nhau và vẫn ở trong cùng một không gian đó: tất cả những ví dụ này thật ra là các đại số Banach có chứa đơn vị.
Nếu p ≥ 1 là một số thực, ta xét không gian của tất cả các dãy vô hạn (x1, x2, x3, ...) của các phần tử trong K sao cho ∑i |xi|p là hữu hạn. Lũy thừa bậc 1/p của giá trị này được định nghĩa là chuẩn p của dãy đó. Không gian cùng với chuẩn này là một không gian Banach; nó được kí hiệu là l p.
Không gian Banach l∞ chứa tất cả các dãy x=(x_n) bị chặn với phần tử lấy từ K; chuẩn của một chuỗi như vậy là supremum của các giá trị tuyệt đối của các phần tử trong chuỗi.
Một lần nữa, nếu p ≥ 1 là một số thực, ta có thể xét các hàm số f : [a, b] → K sao cho |f|p là khả tích Lebesgue. Lũy thừa bậc 1/p của tích phân này được định nghĩa là chuẩn của f. Bản thân không gian này không phải là một không gian định chuẩn bởi vì có những hàm số khác không với chuẩn là zero. Chúng ta định nghĩa một quan hệ tương đương như sau: f và g là tương đương nếu và chỉ nếu chuẩn của f - g là zero. Tập của các lớp tương đương sau đó tạo thành một không gian Banach; nó được kí hiệu là L p[a, b]. Ở đây, sử dụng tích phân Lebesgue là điều cốt yếu, bởi vì tích phân Riemann sẽ không đưa ra một không gian đầy đủ. Những ví dụ này có thể tổng quát hóa; xem không gian L p spaces về các chi tiết.
Nếu X và Y là hai không gian Banach trên cùng một trường K, thì chúng ta có thể tạo ra tổng trực tiếp X ⊕ Y, mà cũng lại là một không gian Banach. Cách xây dựng này có thể tổng quát hóa thành tổng trực tiếp của một số bất kì các không gian Banach.
Nếu M là một không gian con đóng của một không gian Banach X, thì không gian thương X/M là một không gian Banach.
Mọi không gian có tích vô hướng sẽ dẫn đến một chuẩn suy ra từ đó. Không gian tích vô hướng này gọi là không gian Hilbert nếu chuẩn tương ứng là đầy đủ. Do đó mọi không gian Hilbert là một không gian Banach do định nghĩa. Điều ngược lại cũng đúng dưới một số điều kiện nhất định; xem bên dưới.
c.Các toán tử tuyến tính:
Nếu V và W là các không gian Banach trên cùng một trường nền K, tập hợp của các hàm K-tuyến tính liên tục A : V → W được kí hiệu là L(V, W). Chú ý là trong các không gian vô hạn chiều, không phải tất cả các biến đổi tuyến tính là liên tục. L(V, W) là một không gian vectơ, và bằng cách định nghĩa chuẩn ||A|| = sup { ||Ax|| : x trong V với ||x|| ≤ 1 } nó có thể được biến thành một không gian Banach.
Không gian L(V) = L(V, V) còn tạo nên một đại số Banach có chứa đơn vị; phép nhân được cho bởi phép hợp của các biến đổi tuyến tính.
d.Không gian đối ngẫu:
Nếu V là một không gian Banach và K là trường nền (hoặc là số thực hay là phức), thì bản thân K là một không gian Banach (sử dụng giá trị tuyệt đối như là chuẩn) và ta có thể định nghĩa không gian đối ngẫu V′ như là V′ = L(V, K), không gian của biến đổi tuyến tính liên tục vào K. Không gian này lại là không gian Banach (với chuẩn của toán tử). Nó có thể được sử dụng để định nghĩa một topo mới trên V: topo yếu.
Chú ý rằng yêu cầu rằng các hàm phải liên tục là quan trọng; nếu V là vô hạn chiều, có những hàm tuyến tính nhưng không liên tục, và do đó không bị chặn, do vậy không gian V* của các hàm tuyến tính vào K chưa phải là một không gian Banach. Không gian V* (có thể được gọi là không gian đối ngẫu đại số để phân biệt với V') cũng tạo ra một topo yếu và mịn hơn topo tạo ra bởi đối ngẫu liên tục bởi vì V′⊆V*.
Có một ánh xạ tự nhiên F từ V đến V′′ (đối ngẫu của đối ngẫu) định nghĩa bởi
F(x)(f) = f(x)
với tất cả x trong V và f trong V′. Vì F(x) là một biến đổi từ V′ sang K, nó là một phần tử của V′′. Ánh xạ F: x → F(x) do đó là một biến đổi V → V′′. Như là một hệ quả của định lý Hahn-Banach, ánh xạ này là đơn ánh; nếu nó cũng là toàn ánh, thì không gian Banach V được gọi là có tính phản xạ. Các không gian có tính phản xạ có nhiều tính chất hình học quan trọng. Một không gian là có tính phản xạ nếu và chỉ nếu không gian đối ngẫu của nó có tính phản xạ, đó là trường hợp nếu và chỉ nếu quả cầu đơn vị là compact trong topo yếu.
Ví dụ, lp là có tính phản xạ với 1<p<∞ nhưng l1 và l∞ không có tính phản xạ. Đối ngẫu của lp là lq với p và q liên hệ với nhau bởi công thức (1/p) + (1/q) = 1. Xem không gian L p để thêm chi tiết.
e.Quan hệ với các không gian Hilbert:
Như là được nói đến ở trên, mọi không gian Hilbert là một không gian Banach bởi vì, theo định nghĩa, một không gian Hilbert là đầy đủ với chuẩn suy ra từ tích vô hướng, (chuẩn được suy ra từ tích vô hướng nghĩa là ||v||² = (v,v) với tất cả v.
Điều ngược lại không luôn luôn đúng; không phải không gian Banach nào cũng là không gian Hilbert. Một điều kiện cần và đủ cho một không gian Banach V có liên quan đến một tích vô hướng (mà cần có để làm V trở thành một không gian Hilbert) là hằng đẳng thức hình bình hành:
||u+v||² + ||u-v||² = 2(||u||² + ||v||²)
với mọi u và v trong V, mà ||*|| là chuẩn trên V.
Nếu chuẩn của một không gian Banach thỏa mãn hằng đẳng thức này, tích vô hướng liên quan sẽ làm nó trở thành một không gian Hilbert thông qua hằng đẳng thức phân cực. Nếu V là một không gian Banach thực, thì hằng đẳng thức phân cực là
(u,v) = (||u+v||² - ||u-v||²)/4
và nếu V là một không gian Banach phức, thì hằng đẳng thức phân cực được cho bởi
(u,v) = (||u+v||² - ||u-v||² + i(||u+iv||² - ||u-iv||²)).
Điều kiện cần là dễ dàng từ định nghĩa của một tích vô hướng. Để thấy điều kiện đủ —nghĩa là luật bình hành sẽ suy ra dạng định nghĩa bằng hằng đẳng thức phân cựa thật sự là một tích vô hướng đầy đủ—ta phải kiểm tra một cách đại số là dạng này là cộng với nhau được, từ đó bằng phép quy nạp dạng này là tuyến tính trên các số tự nhiên và số hữu tỉ. Sau đó bởi vì mỗi số thực là giới hạn của một chuỗi Cauchy nào đó của các số hữu tỉ, tính đầy đủ của chuẩn mở rộng sự tuyến tính lên toàn đường thẳng thực. Trong trường hợp phức, ta có thể kiểm tra rằng dạng vô hướng đó là tuyến tính trên i trong một tham số, và tuyến tính liên hợp trên tham số còn lại.
g.Tổng quát hóa:
Một số các không gian quan trọng khác trong giải tích hàm, ví dụ không gian tất cả các hàm khả vi vô số lần R → R hay là không gian của tất cả các phân bố trên R, là đầy đủ nhưng không phải là các không gian vectơ định chuẩn và do vậy không phải là các không gian Banach. Trong không gian Frechet ta vẫn có một metric đầy đủ, trong khi không gian LF là các không gian vec tơ thuần nhất đầy đủ phát sinh từ giới hạn của các không gian Fréchet.
Khi Thế chiến thứ hai bắt đầu, Banach là Chủ tịch Hội toán học Ba Lan và là giáo sư tại Đại học Lwów. Là một thành viên của Viện Hàn lâm khoa học Cộng hòa Xô viết Ukraina, và có quan hệ tốt với các nhà toán học Liên Xô, ông được phép giữ vị trí đó mặc cho sự chiếm đóng thành phố của Hồng quân Xô viết từ năm 1939. Banach sống sót các trận chiếm đóng tàn bạo sau đó của quân Đức từ tháng 7 năm 1941 đến tháng 2 năm 1944, sống sót bằng cách hiến máu cho Viện nghiên cứu Typhus của giáo sư Rudolf Weigl. Sức khỏe của ông suy giảm trong thời bị chiếm đóng, và ông bị nhiễm ung thư phổi. Sau chiến tranh Lwów được sát nhập vào Liên Xô, và Banach qua đời trước khi có thể được đưa về an nghỉ ở Kraków, Ba Lan. Ông được chôn cất tại Nghĩa trang Lyczakowski.
CÁC TÁC PHẨM:
Teoria operacji liniowych (Lý thuyết về các toán tử tuyến tính), 1932, được xem như là công trình có ảnh hưởng lớn nhất của Banach. Trong đó ông hình thức hóa khái niệm bây giờ được biết đến như là không gian Banach, và chứng minh nhiều định lý cơ sở của giải tích hàm. Ông cũng là người khởi xướng và biên tập tạp chí Studia Mathematica.
Ngoài việc là một trong những người sáng lập ra giải tích hàm, Banach cũng có các đóng góp quan trọng vào lý thuyết độ đo, lý thuyết tập hợp, và các ngành khác của toán.
CÁC ĐỊNH LÝ CỦA BANACH:
1.Định lý không gian Banach:
Trong toán học, không gian Banach, đặt theo tên Stefan Banach người nghiên cứu các không gian đó, là một trong những đối tượng trung tâm của nghiên cứu về giải tích hàm. Nhiều không gian hàm vô hạn chiều nghiên cứu trong lãnh vực giải tích hàm là các ví dụ về các không gian Banach.
a.Định nghĩa:
Các không gian Banach được định nghĩa như là các không gian vectơ định chuẩn đầy đủ. Điều này nghĩa là một không gian Banach là một không gian vectơ V trên trường số thực hay số phức với một chuẩn ||·|| sao cho mọi dãy Cauchy (tương ứng với metric d(x, y) = ||x − y|| trong V có một giới hạn trong V. Bởi vì chuẩn sinh ra một topology trên không gian vectơ, một không gian Banach đưa ra một ví dụ về một không gian vectơ có tính topo.
b.Ví dụ:
Sau đây, K kí hiệu cho trường R hoặc C.
Không gian Euclid quen thuộc Kn, với chuẩn Euclid của x = (x1, ..., xn) được cho bởi ||x|| = (∑ |xi|2)1/2, là các không gian Banach.
Không gian của tất cả các hàm số liên tục f : [a, b]→ K định nghĩa trên một đoạn đóng [a, b] trở thành một không gian Banach nếu ta định nghĩa chuẩn của hàm số như là ||f|| = sup { |f(x)| : x trong [a, b] }. Đây thực sự là một chuẩn bởi vì các hàm liên tục định nghĩa trên đoạn đóng thì bị chặn. Không gian này là đầy đủ dưới chuẩn này. Theo định nghĩa, nó là một không gian Banach, được kí hiệu là C[a, b].
Không gian C(X) của tất cả các hàm số liên tục X → K, với X là một không gian compact. Với X là một không gian topo bất kì, ký hiệu
B(X) là không gian của tất cả các hàm liên tục bị chặn với chuẩn . Có thể thay không gian tôpô X trong ví dụ này bằng một tập tùy ý. Khi đó B(X) đuwocj xét là tập các hàm số bị chặn trên tập X với chuẩn được định nghĩa tương tự. Trong tất cả những ví dụ này, ta có thể nhân các hàm số với nhau và vẫn ở trong cùng một không gian đó: tất cả những ví dụ này thật ra là các đại số Banach có chứa đơn vị.
Nếu p ≥ 1 là một số thực, ta xét không gian của tất cả các dãy vô hạn (x1, x2, x3, ...) của các phần tử trong K sao cho ∑i |xi|p là hữu hạn. Lũy thừa bậc 1/p của giá trị này được định nghĩa là chuẩn p của dãy đó. Không gian cùng với chuẩn này là một không gian Banach; nó được kí hiệu là l p.
Không gian Banach l∞ chứa tất cả các dãy x=(x_n) bị chặn với phần tử lấy từ K; chuẩn của một chuỗi như vậy là supremum của các giá trị tuyệt đối của các phần tử trong chuỗi.
Một lần nữa, nếu p ≥ 1 là một số thực, ta có thể xét các hàm số f : [a, b] → K sao cho |f|p là khả tích Lebesgue. Lũy thừa bậc 1/p của tích phân này được định nghĩa là chuẩn của f. Bản thân không gian này không phải là một không gian định chuẩn bởi vì có những hàm số khác không với chuẩn là zero. Chúng ta định nghĩa một quan hệ tương đương như sau: f và g là tương đương nếu và chỉ nếu chuẩn của f - g là zero. Tập của các lớp tương đương sau đó tạo thành một không gian Banach; nó được kí hiệu là L p[a, b]. Ở đây, sử dụng tích phân Lebesgue là điều cốt yếu, bởi vì tích phân Riemann sẽ không đưa ra một không gian đầy đủ. Những ví dụ này có thể tổng quát hóa; xem không gian L p spaces về các chi tiết.
Nếu X và Y là hai không gian Banach trên cùng một trường K, thì chúng ta có thể tạo ra tổng trực tiếp X ⊕ Y, mà cũng lại là một không gian Banach. Cách xây dựng này có thể tổng quát hóa thành tổng trực tiếp của một số bất kì các không gian Banach.
Nếu M là một không gian con đóng của một không gian Banach X, thì không gian thương X/M là một không gian Banach.
Mọi không gian có tích vô hướng sẽ dẫn đến một chuẩn suy ra từ đó. Không gian tích vô hướng này gọi là không gian Hilbert nếu chuẩn tương ứng là đầy đủ. Do đó mọi không gian Hilbert là một không gian Banach do định nghĩa. Điều ngược lại cũng đúng dưới một số điều kiện nhất định; xem bên dưới.
c.Các toán tử tuyến tính:
Nếu V và W là các không gian Banach trên cùng một trường nền K, tập hợp của các hàm K-tuyến tính liên tục A : V → W được kí hiệu là L(V, W). Chú ý là trong các không gian vô hạn chiều, không phải tất cả các biến đổi tuyến tính là liên tục. L(V, W) là một không gian vectơ, và bằng cách định nghĩa chuẩn ||A|| = sup { ||Ax|| : x trong V với ||x|| ≤ 1 } nó có thể được biến thành một không gian Banach.
Không gian L(V) = L(V, V) còn tạo nên một đại số Banach có chứa đơn vị; phép nhân được cho bởi phép hợp của các biến đổi tuyến tính.
d.Không gian đối ngẫu:
Nếu V là một không gian Banach và K là trường nền (hoặc là số thực hay là phức), thì bản thân K là một không gian Banach (sử dụng giá trị tuyệt đối như là chuẩn) và ta có thể định nghĩa không gian đối ngẫu V′ như là V′ = L(V, K), không gian của biến đổi tuyến tính liên tục vào K. Không gian này lại là không gian Banach (với chuẩn của toán tử). Nó có thể được sử dụng để định nghĩa một topo mới trên V: topo yếu.
Chú ý rằng yêu cầu rằng các hàm phải liên tục là quan trọng; nếu V là vô hạn chiều, có những hàm tuyến tính nhưng không liên tục, và do đó không bị chặn, do vậy không gian V* của các hàm tuyến tính vào K chưa phải là một không gian Banach. Không gian V* (có thể được gọi là không gian đối ngẫu đại số để phân biệt với V') cũng tạo ra một topo yếu và mịn hơn topo tạo ra bởi đối ngẫu liên tục bởi vì V′⊆V*.
Có một ánh xạ tự nhiên F từ V đến V′′ (đối ngẫu của đối ngẫu) định nghĩa bởi
F(x)(f) = f(x)
với tất cả x trong V và f trong V′. Vì F(x) là một biến đổi từ V′ sang K, nó là một phần tử của V′′. Ánh xạ F: x → F(x) do đó là một biến đổi V → V′′. Như là một hệ quả của định lý Hahn-Banach, ánh xạ này là đơn ánh; nếu nó cũng là toàn ánh, thì không gian Banach V được gọi là có tính phản xạ. Các không gian có tính phản xạ có nhiều tính chất hình học quan trọng. Một không gian là có tính phản xạ nếu và chỉ nếu không gian đối ngẫu của nó có tính phản xạ, đó là trường hợp nếu và chỉ nếu quả cầu đơn vị là compact trong topo yếu.
Ví dụ, lp là có tính phản xạ với 1<p<∞ nhưng l1 và l∞ không có tính phản xạ. Đối ngẫu của lp là lq với p và q liên hệ với nhau bởi công thức (1/p) + (1/q) = 1. Xem không gian L p để thêm chi tiết.
e.Quan hệ với các không gian Hilbert:
Như là được nói đến ở trên, mọi không gian Hilbert là một không gian Banach bởi vì, theo định nghĩa, một không gian Hilbert là đầy đủ với chuẩn suy ra từ tích vô hướng, (chuẩn được suy ra từ tích vô hướng nghĩa là ||v||² = (v,v) với tất cả v.
Điều ngược lại không luôn luôn đúng; không phải không gian Banach nào cũng là không gian Hilbert. Một điều kiện cần và đủ cho một không gian Banach V có liên quan đến một tích vô hướng (mà cần có để làm V trở thành một không gian Hilbert) là hằng đẳng thức hình bình hành:
||u+v||² + ||u-v||² = 2(||u||² + ||v||²)
với mọi u và v trong V, mà ||*|| là chuẩn trên V.
Nếu chuẩn của một không gian Banach thỏa mãn hằng đẳng thức này, tích vô hướng liên quan sẽ làm nó trở thành một không gian Hilbert thông qua hằng đẳng thức phân cực. Nếu V là một không gian Banach thực, thì hằng đẳng thức phân cực là
(u,v) = (||u+v||² - ||u-v||²)/4
và nếu V là một không gian Banach phức, thì hằng đẳng thức phân cực được cho bởi
(u,v) = (||u+v||² - ||u-v||² + i(||u+iv||² - ||u-iv||²)).
Điều kiện cần là dễ dàng từ định nghĩa của một tích vô hướng. Để thấy điều kiện đủ —nghĩa là luật bình hành sẽ suy ra dạng định nghĩa bằng hằng đẳng thức phân cựa thật sự là một tích vô hướng đầy đủ—ta phải kiểm tra một cách đại số là dạng này là cộng với nhau được, từ đó bằng phép quy nạp dạng này là tuyến tính trên các số tự nhiên và số hữu tỉ. Sau đó bởi vì mỗi số thực là giới hạn của một chuỗi Cauchy nào đó của các số hữu tỉ, tính đầy đủ của chuẩn mở rộng sự tuyến tính lên toàn đường thẳng thực. Trong trường hợp phức, ta có thể kiểm tra rằng dạng vô hướng đó là tuyến tính trên i trong một tham số, và tuyến tính liên hợp trên tham số còn lại.
g.Tổng quát hóa:
Một số các không gian quan trọng khác trong giải tích hàm, ví dụ không gian tất cả các hàm khả vi vô số lần R → R hay là không gian của tất cả các phân bố trên R, là đầy đủ nhưng không phải là các không gian vectơ định chuẩn và do vậy không phải là các không gian Banach. Trong không gian Frechet ta vẫn có một metric đầy đủ, trong khi không gian LF là các không gian vec tơ thuần nhất đầy đủ phát sinh từ giới hạn của các không gian Fréchet.
