Đang ôn thi Đại học ^^!

Nhung ma` ket' qua? cua? phep' nhan la` do phep' cong!
VD:5+5=5.2=>5.2=5+5. Vi` the' nen chung' minh tren sao dung' duoc,lay' ket' qua? cua? 1 tien de`,khong goi la` CM!

khó quá
mình cũng không chứng minh được, bạn lấy bài này ở đâu vậy

cai' CM nay`,con em tau toan` hoi? hehe,chi cung~ chiu,khong biet' tra nhoi`,chac' la` tien de`,ma` tien de` th`i khong phai? CM!

Anonymous writes:

Thực ra thì để chứng minh được cái vấn đề này triệt để thì khá khó

Theo mình nghĩ trong một lý thuyết thỏa các tiên đề peano thì « 1+1=2 » là một định lý , còn một lý thuyết có một hệ tiên đề rỗng ( bất kì ) thì đây chỉ là một mệnh đề và không thể chứng minh .
Mình sẽ chứng minh nôm na đó không phải là một định lý ( đúng trong mọi mô hình).

Mình sẽ dùng định nghĩa trong tiên đề peano về hàm số liền sau viết tắt là S(n)
_ Mọi số tự nhiên đều có một số liền sau và duy nhất .
_ Hai số có cùng một số liền sau thì bằng nhau : S(n)=S(m) m=n

Định nghĩa đệ quy về phép cộng :
_Với mọi n , n+0 =n
_ n+ S(m)= S(n+m)

Chứng minh :
1+1=2 . Theo định nghĩa về phép cộng ta có mệnh đề tương đương S(1)=2 . Đây là một định nghĩa , định nghĩa là một dạng tiên đề đặc biệt gồm hai vế , một vế chứa kí hiệu mới muốn đứa vào lý thuyết ( kí hiệu mới chỉ xuất hiện một lần ) , vế thứ hai kí hiệu mới không xuất hiện . Ở đây là một định nghĩa của kí hiệu « 2 » ( nên phân biệt rõ kí hiệu 2 và số 2) . Một tiên đề định nghĩa thì không thể gây mâu thuẫn lý thuyết được . (mình không chứng minh điêu này ) .
VD :
Lý thuyết ban đầu A
(Số liền sau của 1) là số chẵn , (Số liền sau của 1) cộng 0 vẫn là chính nó . (Số liền sau của 1) là số nguyên tố .

Lý thuyết B = lý thuyết A tiên đề: S(1)=2
2 là số chẵn , 2 cộng 0 vẫn là chính nó . 2 là số nguyên tố .

Bạn chỉ cần thay chuỗi (Số liền sau của 1) bằng 2 ta sẽ có lý thuyết B từ lý thuyết A . Rõ ràng nếu A đúng thì B cũng đúng
Như vậy từ một lý thuyết không mâu thuẫn về (số liền sau của 1) , ta thay chuỗi (số liền sau số 1) bằng kí hiệu 2 (2 phân biệt với kí hiệu có trước như S, 0 và 1) ta sẽ có định lý 1+1 =2
Bây giờ mình sẽ dùng phản ví dụ ( nói một cách lý thuyết là tìm thấy một mô hình của lý thuyết không mâu thuẫn không thỏa "1+1=2") .
Xét nhóm Z/2Z nôm na là phép cộng modulo 2 . 1 đại diện cho số lẻ , 0 đại diện cho số chẵn .
0 + 0 = 0
1+0 = 0+1=1
1+1=S(1)=0
Rõ ràng S(0)=1 và S(1)=0
Dĩ nhiên là còn nhiều phản ví dụ khác .
Vậy tồn tại mô hình mà « 1+1=2 » không thỏa và trong tập N thì « 1+1=2 » thỏa vậy đây là mệnh đề không chứng minh được với tập giả thiết rỗng hiển nhiên không là một định lí


Nếu có thời gian mình sẽ nói thêm một chút về vấn đề này để ủng hộ bài viết của wooodls

Anonymous writes:

1+1=2?

Khoảng ba chục năm trước đây, lần đầu tiên đọc báo thấy có người đặt câu hỏi đó, tôi cũng đã ngạc nhiên bởi tính “phi lí” của nó, và rồi từ chỗ hoài nghi tính nghiêm túc của câu hỏi đó, tôi đã trởi lại hoài nghi sự hiểu biết của mình về chính những điều cực kỳ đơn giản như “số 1 là gì?”, “số 2 là gì?”, “phép + có nghĩa gì?”, và từ đó phải tự xét lại xem mình đã hiểu “1+1=2” có ý nghĩa như thế nào mà mình tin là đúng?

Dù đã học toán, làm toán bao nhiêu năm, nhưng quả thực nếu có ai chợt hỏi “số 1 là gì?” thì mình lại ngắc ngứ. Chỉ vào cái bóng đèn duy nhất trên trần nhà, hay vào em bé đang chơi đùa một mình ngoài sân chăng? Cũng không thể xem là ổn được. Không có một sự vật, một hiện tượng nào trong cuộc đời thực này có cái tên gọi là số 1 cả. “Số 1” là một khái niệm trừu tượng do đầu óc con người bịa ra để diễn tả một ý niệm số lượng gắn với một lớp các tập hợp có cùng một tính chất chung là đơn độc. Số lượng các bóng đèn trên trần nhà, hay số lượng các em bé đang chơi ngoài sân vắng là 1, nhưng số 1 không là cái bóng đèn hay em bé đó. Thực tế cung cấp cho con người các cứ liệu xuất phát để hình thành nên các ý niệm, các khái niệm trừu tượng, nhưng mỗi ý niệm, mỗi khái niệm mà ta có được qua hoạt động trừu tượng hóa của trí tuệ chỉ giữ lại được một vài thuộc tính nào đó của các đối tượng thực tế tương ứng mà thôi. Vì vậy, các khái niệm trừu tượng bao giờ cũng là những mô tả nghèo nàn và phiến diện của các đối tượng trong thực tế. Trong cuộc đời thực không có số 1, mà là có một bóng đèn, một em bé, một con người, v.v... thế thôi. Và những cái một đó giàu có hơn, đa dạng hơn, phong phú hơn không biết bao nhiêu lần cái số 1 khẳng khiu của toán học trừu tượng!
Khoa học hiện đại như ta biết đã được xây dựng trên hàng loạt những khái niệm trừu tượng, và những quan hệ trừu tượng giữa các khái niệm đó. Tốc độ, gia tốc, lực, khối lượng, năng lượng, ... được đo bằng các con số, các quan hệ trong chuyển động, trong hấp dẫn, thậm chí đến các quan hệ trong kinh tế, xã hội, ... được mô tả bằng các phương trình, bất phương trình trên các “đại lượng”, tức cũng qui về trên các con số. Và rồi, xuất phát từ các khái niệm và quan hệ trừu tượng đó, bằng các phương pháp “khoa học” như quan sát, suy luận lôgích, thực nghiệm, kiểm chứng, ... con người đã tạo ra được những kho tàng đồ sộ các “kiến thức khoa học”, loại kiến thức từng được coi là khách quan và đúng đắn, cơ sở để con người nhận thức thực tế, phát minh công nghệ, từ đó phát triển kinh tế và xã hội trong suốt mấy thế kỷ qua.
Nhưng, sang thế kỷ 20, khi lần lượt từ lĩnh vực này sang lĩnh vực khác, người ta phát hiện ra rằng có nhiều hiện tượng thực tế không thể giải thích được bằng các “kiến thức khoa học” đó, thì những hoài nghi về tính khách quan và tuyệt đối đúng đắn của các lý thuyết khoa học mới dần nẩy sinh, và nhiều nguyên lý khoa học mà ta vẫn coi là chân lý mới dần được xem xét lại. Có thể là do khoa học đã đạt được những thành tựu tuyệt vời ban đầu trong lĩnh vực vật lý của các chuyển động cơ học, nên con người đã dễ quên đi rằng các khái niệm các khái niệm trừu tượng, các “qui luật” lý thuyết chỉ cho ta những hiểu biết phiến diện về thực tế, các suy luận lôgích dựa trên các sơ đồ diễn dịch cứng nhắc lại góp phần làm nghèo thêm những hiểu biết phiến diện đó, nên các kết luận “khoa học” mà ta có được, và bản thân khoa học nói chung, chỉ có thể cho ta những hiểu biết trừu tượng, theo một nghĩa nào đó là nghèo nàn và phiến diện (so với cái giàu có và đa dạng của thực tế) mà thôi.
Trở lại với câu hỏi “1+1=2?” từ đầu bài, ta thấy số 1, số 2 là những khái niệm trừu tượng diễn tả các ý niệm về số lượng, + và = là những phép toán và quan hệ trừu tượng trên các khái niệm đó, do đó 1+1=2 là một quy luật của toán học trừu tượng, nhiều lắm thì cũng có thể xem là một phản ánh phiến diện nào đó về mặt số lượng của thực tế mà thôi. Chứ trong cuộc đời thật làm gì có thực thể nào là số 1, là số 2, và có phép phối hợp nào trùng với phép + toán học? Trong đời thực một người với một người có thể hợp với nhau để thành một cặp bạn, một cặp đối thủ, hay một đôi vợ chồng, v.v... Cặp bạn, cặp đối thủ, đôi vợ chồng, ... đều có nội dung và chất lượng phong phú hơn, giàu có hơn rất nhiều so với hai con người buộc lại với nhau một cách hờ hững! Vì thế ta nói phép cộng toán học chỉ cho ta một hiểu biết phiến diện về mặt số lượng trong quan hệ gữa một “hệ thống” và các thành phần của nó, chứ trong đời thực quan hệ giữa hệ thống và các thành phần của nó không bao giờ có thể qui giản về phép tính cộng số học được. Một hệ thống bao giờ cũng giàu có hơn tổng gộp các thành phần của nó, tức là có những thuộc tính mới mà từng thành phần của nó không có. Có người thích viết 1+1>2 để diễn tả điều đó, tuy nhiên viết như vậy có thể không thỏa đáng, vì cái “nhiều hơn” ở đây không phải là hơn về số lượng. Ngày nay, với khoa học hệ thống, ta hiểu một hệ thống là gồm nhiều thành phần có quan hệ tương tác với nhau, và tính chất nói trên của hệ thống được gọi chung là tính hợp trội (emergence) của hệ thống. Hệ thống gồm hai người bạn, hoặc hai đối thủ, hoặc hai vợ chồng, đều có những thuộc tính hợp trội mà từng thành viên riêng lẻ không thể có. Việc có các thuộc tính hợp trội là quan trọng và phổ biến trong mọi hệ thống, chúng không có sẵn trong các thành phần của hệ thống mà là kết quả của những tương tác giữa các thành phần của hệ thống cũng như của hệ thống với môi trường. Hệ thống càng phức tạp thì các thuộc tính hợp trội của nó càng có khả năng đa dạng và phong phú. Tuy ta biết là các hệ thống (phức tạp) có các thuộc tính hợp trội, nhưng các thuộc tính đó đã được hình thành như thế nào thì thường ta lại không biết, nói chung ta không đoán trước được và chỉ biết chúng khi chúng đã xuất hiện. Khoa học hệ thống ra đời từ giữa thế kỷ 20, được phát triển mạnh vào vài thập niên cuối của thế kỷ, đã đề ra cho mình nhiệm vụ nghiên cứu một loạt các khái niệm và vấn đề cơ bản như tính toàn thể, tính hợp trội, tính mở, hành vi hướng đích và các cơ chế phản hồi, tính nội cân bằng, tính tổ chức và khả năng tự tổ chức,... của các hệ thống; cố gắng tìm kiếm những phương pháp khoa học mới để phát hiện các qui luật chung nhằm giải thích các cơ chế vận hành và tương tác của các thuộc tính nói trên trong các hệ thống phức tạp. Ta biết rằng các hệ thống phức tạp nhất có ý nghĩa đối với cuộc sống con người là về sự sống, về kinh tế và xã hội. trong phạm vi của tư duy duy lý và cơ giới luận, con người đã đạt được nhiều kết quả nghiên cứu về từng mặt riêng lẻ, từng hiện tượng đặc thù, nhưng chưa trả lời được nhiều câu hỏi bản chất trong các lĩnh vực đó. Khoa học hệ thống đang trong giai đoạn tìm cho mình những phương pháp mới, những mô hình mới, những kiểu suy luận mới,..., chưa thể có ngay mọi câu trả lời bản chất đó, nhưng cũng đã hé lộ cho ta những triển vọng rất sáng sủa. Một mặt, từ các nghiên cứu thực tiễn trong các lĩnh vực sinh học, sinh thái học, các hệ thống thần kinh, các hệ thống kinh tế và xã hội, người ta đã phát hiện nhiều đặc điểm chung trong các quá trình hình thành, phát triển và tiến hóa của các hệ thống phức tạp. Sự phát triển của các hệ thống phức tạp, về thực chất là việc tăng không ngừng trình độ tổ chức và trật tự của chúng, hình thành bởi một tiến trình tiến hóa tạo nên những thuộc tính hợp trội được thực hiện bằng các cơ chế thích nghi qua các tương tác của hệ thống. Tiến hóa qua cơ chế thích nghi không chỉ biểu hiện bằng cạnh tranh sinh tồn và chọn lọc tự nhiên như đã từng được phát hiện bởi thuyết tiến hóa của Darwin trước đây, mà còn bằng các khả năng hiệp tác và cùng phát triển. Chính cái đa dạng này của tiến hóa tạo nên sự phong phú và giàu có của cuộc sống, đặc biệt đối với các hệ kinh tế xã hội. Mặt khác, các nghiên cứu lý thuyết trên các mô hình hệ động lực phi tuyến có các vòng phản hồi dương, các mạng nơron hình thức, v.v... cũng đã phát hiện nhiều tính chất chung của sự xuất hiện các trạng thái hỗn độn, rẽ nhánh, khả năng tự tổ chức và hiệp tác đồng tiến hóa ở bên bờ hỗn độn, v.v... của các hệ thống phức tạp. Khoa học hệ thống hiện đại có thể sẽ không cho ta nhiều hiểu biết dưới dạng các định lý được chứng minh chặt chẽ một cách duy lý, nhưng kết hợp các nghiên cứu lý thuyết và thực tiễn chắc sẽ cung cấp cho con người nhiều hiểu biết bổ ích và rất cần thiết trong cuộc sống hiện đại, đặc biệt trong việc tìm lời giải cho các bài toán bí ẩn về vũ trụ, tự nhiên, sự sống, trí tuệ, về quan hệ giữa vật chất và tinh thần, và trong các hoạt động thực tiễn nâng cao chất lượng sống của bản thân con người, phát triển các hình thái kinh tế và xã hội năng động và sáng tạo phục vụ hạnh phúc của con người. Chính vì vậy mà nhiều nhà khoa học từ nhiều lĩnh vực khác nhau đã từng nhận định khoa học về các hệ thống phức tạp, gọi tắt là khoa học về phức tạp, sẽ là khoa học của thế kỷ mới, thế kỷ 21; và chúng ta hy vọng là khoa học mới đó, bước chuyển biến mới của khoa học nói chung, hiện đang được triển khai ở hầu khắp các việc khoa học và trường đại học trên thế giới, sẽ đạt được nhiều kết quả to lớn, mang lại nhiều cống hiến đặc sắc cho cuộc sống con người trong thời đại ngày nay.

Phan Đình Diệu (Tạp chí Tia Sáng số tháng 3.2005)

tau thử viết xem có ra tiếng nước ngoài không nhá!

Khó thế nhỉ !

haizzz, có 1 người trong nhà, rồi có thêm 1 người nữa vào nhà. vậy trong nhà có bao nhiu ng`. dùng cái trên chứng minh đi mấy bạn

tui nghĩ 1 + 1 = 2 cũng chỉ là 1 phép đếm, ng` xưa dùng để đếm trong trao đổi hàng hóa. mọi thứ bắt đầu từ đây

rồi bây giờ chúng ta rảnh hay sao đó mới bắt đầu chứng minh lại cái hiển nhiên này